Графическое решение задачи линейного программирования

из "Математические методы моделирования экономических систем Изд2 "

Каждое из неравенств (7.35) - (7.36) системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми ацх + а, = bf, (/ = 1,/и) xl = 0 дс2 = 0. В том случае, если система неравенств (7.35) - (7.36) совместна, область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей - выпуклое, то областью допустимых решений является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений. Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки равенств. [c.202]
Целевая функция (7.34) определяет на плоскости семейство параллельных прямых, каждой из которых соответствует определенное значение Z. [c.203]
Вектор С - (q 2) с координатами q и с2, перпендикулярный этим прямым, указывает направление наискорейшего возрастания Z, а противоположный вектор - направление убывания Z. [c.203]
Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение. [c.203]
На рис. 7.3 изображен случай, когда максимум недостижим, а на рис. 7.4 — случай, когда система ограничений задачи несовместна. Отметим, что нахождение минимального значения Z при данной системе ограничений отличается от нахождения ее максимального значения при тех же ограничениях лишь тем, что линия уровня Z передвигается не в направлении вектора С = ( j 2), а в противоположном направлении. Таким образом, отмеченные выше случаи, встречающиеся при нахождении максимального значения целевой функции, имеют место и при определении ее минимального значения. [c.204]
Для практического решения задачи линейного программирования (7.34) - (7.36) на основе ее геометрической интерпретации необходимо следующее. [c.204]
Пример 7.10. Рассмотрим решение задачи об ассортименте продукции (пример 7.2) геометрическим способом. [c.205]
Полученное решение означает, что объем производства продукции Щ должен быть равен 2,4 ед., а продукции Я2 - 1,4 ед. Доход, получаемый в этом случае, составит Z = 12,8 д. е. [c.205]
Геометрическим способом можно также решать задачи линейного программирования с числом переменных более двух. Для этого исходную задачу преобразуют методом Жордана-Гаусса (приложение 11). [c.206]
Для отыскания оптимального плана исходной задачи подставляем в преобразованную систему х2 и .Окончательно получаем Х= (1,078 0 0,23 0,001). [c.208]

Вернуться к основной статье