Бинарные модели

из "Финансовая математика "

Пусть вкладчик открывает накопительный счет на 1000 под 10% годовых. Для простоты расчетов полагаем, что /0 = 0. Если через год он вносит дополнительно ДООО, то какова будет сумма вклада через 2 года Трудность этой задачи или, скорее, ее необычность состоит в том, что проценты на 2-й год должны начисляться и на дополнительный взнос. Решение поставленной задачи может быть осуществлено двояким образом. [c.173]
Здесь верхние индексы 0 и I в скобках обозначают состояния соответственно начального и нового счетов. [c.173]
Обозначим через Pt сумму на основном счете к моменту времени г. Вначале она равна, J/ 1000, т.е. [c.174]
Решим теперь задачу, используя модель разделения счета на основной и процент ный, т.е, бинарную модель. [c.176]
Несколько позже мы сформулируем общую теорему в терминах потоков платежей, из которой эквивалентность двух подходов определения полной суммы накоплений будет вытекать непосредственно. Сейчас же перейдем к более тонкому вопросу об изъятиях (снятиях) сумм с накопительного счета. [c.177]
Как и в предыдущем случае сначала разберем эту ситуацию на конкретном примере. [c.177]
Таким образом, изъятия для накопительной модели в схеме простых процентов — процедура тонкая. Поскольку суть простых процентов состоит в том, что они начисляются лишь на инвестируемый капитал, а ранее начисленные проценты при этом начислении не учитываются, то такая схема заранее предполагает раздельный учет инвестиций (вкладов, взносов и т.п.) и начисленных на них процентов. Поэтому при добавлении и снятии сумм необходимо указывать счета, на которые зачисляются или с которых снимаются денежные суммы. Если внесение дополнительных сумм неестественно зачислять на процентный счет , то для снятия сумм ответ далеко не однозначен. [c.179]
Различие между изъятиями лишь с основного счета и изъятиями, затрагивающими процентный счет, весьма существенно. Пусть в условиях нашего примера с начальным счетом в 1000 и ставкой 10% годовых ежегодно снимается 9 100. Если это изъятие лишь с процентного счета, то основной счет не меняется и может существовать сколь угодно долго (пока выполняются упомянутые условия). Если же изъятия осуществляются с основного счета, то он ликвидируется (обнуляется) за 10 лет, а процентный счет при этом достигает наибольшего значения и больше не меняется. [c.179]
Возвращаясь к последнему примеру с изъятием суммы 200 в конце 1-го года, заметим, что расхождение в . 10 между двумя способами вычисления состояния счета в конце 2-го года обусловливается разными способами определения суммы, на которую начисляются проценты. [c.179]
Коммерческое и актуарное правила. Итак, обычное утверждение о том, что простые проценты подразумевают начисление лишь на основной капитал, в общем случае неполно, поскольку ничего не говорит о способе определения величины основного капитала при вложениях и изъятиях. На практике чаще всего используются два способа определения величины (или сальдо] основного счета. [c.180]
Первый способ все внешние операции (т.е. вложения и изъятия) относит только к основному счету, а процентный счет при этом не изменяется. Это правило обычно называют коммерческим. Оно сохраняет полную симметрию между взносами и изъятиями. При этом динамика счета полностью описывается уравнениями (4.10) — (4.15). [c.181]
С изъятиями связана еще одна сложность. Что делать, если снимаемая сумма больше основной для коммерческого правила или полной для актуарного правила С формальной точки зрения, конечно, никаких трудностей нет. Провести все вычисления можно, если допустить отрицательные значения для основного, процентного и полного счетов. Труднее их содержательная интерпретация. Фактически изменение знака основного счета означает изменение ролей участвующих в сделке лиц. Вкладчик (кредитор), снимая со счета сумму большую, чем остаток счета, становится должником (дебитором) банка. На практике такая возможность реализуется в так называемом контокоррентном счете. Такой счет позволяет владельцу иметь временный отрицательный баланс (овердрафт). Однако процентная ставка, которая в этом случае становится для банка ставкой по кредиту, обычно больше, чем ставка по положительному балансу, т.е. депозитная ставка. [c.181]
Ниже ради простоты рассмотрим лишь модели, в которых обе ставки (кредитная и дебетовая) совпадают. Такие модели обычно называют симметричными (относительно процентной ставки). [c.181]

Вернуться к основной статье