Задачи на условный экстремум

из "Математические методы в экономике Издание 2 "

Рассмотрим теперь другую задачу. [c.120]
Найти локальный максимум (или локальный минимум) функции у = д х,,х2) при условии, что независимые переменные х, и х2 удовлетворяют ограничению (х,,х2) = 0 в виде равенства, т.е. [c.120]
Проиллюстрируем задачу на условный максимум в трехмерном пространстве (см. рис. 8.2). [c.121]
Отметим, что если известен график Ff функции Дх, ) двух переменных х, и х2, то, глядя на него, можно сразу понять, есть ли точки абсолютного и условного локального экстремума или какие-то из них (а, возможно, все) отсутствуют. [c.122]
В случае, если графика Ff нет, точки абсолютного локального экстремума отыскиваются с помощью формального анализа функции у = Дх, ), который был описан в главе 7. [c.122]
Существует формальный метод отыскания точек условного локального экстремума, для использования которого также не требуется знания графика / функции у = Дх,,х2) и графика уравнения g(x,,x2)=0. Этот метод (он называется методом Лагранжа) подробно описан в следующем разделе 2. [c.122]
Точка условного глобального максимума (минимума) функции f(x, x2) является точкой условного локального максимума (минимума) этой функции. Обратное, вообще говоря, неверно. На рис. 8.2 точка (х,°,х,°) является точкой не только локального, но и глобального условного максимума функции Дх, ) при наличии ограничения g(x,,x2) = 0. [c.122]
Если значение Дх,0,. .., хл°) сравнивается с значениями во всех точках (х. хи), удовлетворяющих уравнениям (4), то имеем задачу на условный глобальный экстремум (максимум или минимум) функции Дх. хи). [c.122]
Теория условного экстремума активно используется в микро- и макроэкономической теории. В задачах этой теории обычно локальный условный экстремум является также и глобальным условным экстремумом. Разберем конкретный пример. [c.123]
Решение примера 1.1. Отметим прежде всего, что экстремум (экстремумы) функции (5) отыскиваются не на всей плоскости СЦх, (как это было в главе 7), а только на прямой (6). [c.123]
Естественным является следующий способ решения задачи (5 ,(6) на условный экстремум. Выразить из уравнения (6) переменную х2 через переменную х, и подставить полученное выражение Xj = 1 - х, в функцию (5). Тогда задача (5),(6) на условный экстремум функции (5) двух переменных сведется к задаче на безусловный экстремум функции у — 2х,2 - 2х, + 1 одной переменной х,. [c.123]
На рис. 8.4 дана геометрическая иллюстрация решения задачи (5),(6). На линии L, по которой пересекаются вертикальная плоскость Q и график Гг функции (5), самой низкой точкой является точка / 0=(х,° . 0,У))=(1/2,1/2,1/2). На поверхности У самой низкой является точка 0 = (0,0,0). Таким образом, на рис. 4 видно, что условный глобальный минимум функции (5), который равен /2 не совпадает с ее абсолютным (безусловным) минимумом, равным нулю. На рис. 4 также хорошо видно, что ни на линии L, ни на графике Г. нет самых высоких точек, т.е. функция (5) не имеет условного глобального максимума и абсолютного глобального максимума. [c.124]
Решение примера 1.1 подсказывает следующий естественный на первый взгляд способ решения задачи (1),(2). С помощью уравнения (2) сначала выразить переменную х2 через переменную х, (или переменную х, через переменную xj. Затем полученное выражение х2 = А(х,) подставить в функцию (1), которая после этого станет функцией У(х,,Л(х,)) одной переменной х,, и эту функцию исследовать на (безусловный) экстремум. Из отсутствия точки (точек) экстремума у функции х1,Л(х1)) следует отсутствие точки (точек) условного экстремума у функции (1). Если х,° - точка экстремума функции у =Дх,, Л(х,)), то точка (х,°, х2в) = (х,°, Л(х,°)) - точка условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2). [c.124]
Метод Лагранжа позволяет решать не только задачи вида ( 1 ),(2), но более общие задачи вида (3),(4). [c.124]
Метод Лагранжа описан в следующем разделе. [c.124]

Вернуться к основной статье