Приложение ЭП. Обзор эконометрических пакетов

из "Эконометрика начальный курс "

Содержательно несмещенность оценки означает, что при ее использовании мы не получаем систематической ошибки состоятельность оценки гарантирует приближение оценки к истинному значению параметра при увеличении объема выборки, а эффективная оценка является наилучшей в смысле минимума среднеквадратичного отклонения. Отметим, что несмещенность и эффективность — это свойства, не зависящие от объема выборки п, в то время как состоятельность является асимптотическим свойством при стремлении п к бесконечности. [c.534]
Смещенность или несмещенность конкретной оценки проверяется, как правило, непосредственными вычислениями. Для установления состоятельности можно пользоваться предельными теоремами типа закона больших чисел. Проверить эффективность оценки обычно существенно труднее. В данном приложении мы сформулируем один общий результат, имеющий непосредственное отношение к проблеме эффективности. [c.534]
Число In в (МС.14) называется информационным количеством в в ж. Если компоненты Xi.Xn вектора ж независимы и одинаково распределены с плотностью р(х в), х б R1, то можно показать, что In = n/i, где 1 — информационное количество в в одной компоненте Хь 1 = Е[с)1пр(.Х д. 0)/д0]2. Неравенство Рао-Крамера устанавливает нижнюю границу для дисперсии оценки, поэтому если для какой-то несмещенной оценки в в (МС.15) достигается равенство, можно утверждать, что оценка в эффективна (в классе несмещенных оценок). Именно таким образом можно доказать, что выборочное среднее X есть эффективная оценка среднего значения для нормальной генеральной совокупности. Неравенство Рао-Крамера обобщается на случай смещенных оценок, а также на случай многомерного параметра в (число 1п при этом заменяется на соответствующую матрицу). Отметим, что условие регулярности является существенным — можно привести примеры, когда его отсутствие приводит к нарушению неравенства (МС.15). [c.535]
В этом приложении мы кратко опишем лишь два общих метода оценивания неизвестных параметров. [c.535]
Для широкого класса задач оценки максимального правдоподобия являются состоятельными и асимптотически эффективными. В то же время они могут быть смещенными. Например, с помощью непосредственных вычислений можно показать, что для нормальной генеральной совокупности оценки максимального правдоподобия среднего значения и дисперсии есть соответствен-но mML = и ogn, = ЕГ=1( - )2 = , и E( L) = а2. Недостатком метода является необходимость знать распределение вектора х. [c.536]
Тогда для заданного 0 а 1 можно найти интервал 1п такой, что P(hn(Xi. Хп в) 6 1п) — 1 - а. Если при этом включение hn(Xi. Хп в) 1п можно разрешить относительно в, т.е. найти такое множество Dn = Dn(X, .Хп) С 0, что hn(Xi. Хп 0) 6 / в б Dn(.Xi. Хп), то из самой конструкции следует, что Dn будет доверительным множеством с уровнем доверия 1 — а. Подчеркнем, что доверительное множество не единственно. [c.538]
Рассмотрим два примера построения доверительных интервалов. [c.538]
Проверка гипотез и построение на их основе статистических выводов является одной из центральных задач математической и прикладной статистики. В рамках параметрического подхода общая схема проверки гипотезы может быть описана так. Пусть Xi,. . . , Хп — случайная выборка из некоторой генеральной совокупности с функцией распределения F(x) = F(x в), в б 0 С Rm. Относительно параметра в выдвигаются две гипотезы, а именно, HQ в 6 ZQ и HI в 6 Zi, где ZQ С 6, Z С в — некоторые заданные множества. Гипотезу HQ называют основной или нулевой, а гипотезу HI — альтернативной. Если множество Z состоит из одной точки (Z = во ), то соответствующая гипотеза называется простой, в противном случае она называется сложной. Если альтернативная гипотеза явно не указана, то это означает, что Zi = Q Zo. [c.539]
Вероятности ошибок первого и второго рода можно обозначить а = P(Hi Н0) и (3 = Р(Н0 Hj) соответственно. Величину а называют значимостью теста, а величину 1 — (3 — его мощностью. [c.540]
Естественно при построении теста стремиться уменьшить эти ошибки, однако нетрудно понять, что невозможно минимизировать их одновременно. Поэтому обычно поступают следующим образом фиксируют значимость теста и стараются найти такой тест, у которого мощность максимальна (именно здесь в явном виде проявляется несимметричность гипотез, деление их на основную и альтернативную). [c.540]
Легко установить связь между описанной выше процедурой и построением доверительных интервалов. Действительно, предположим, что для неизвестного параметра в построен доверительный интервал Dn с уровнем доверия 1 — а, и предположим, что нулевая гипотеза является простой, т. е. HQ в = во. Тогда нулевая гипотеза не отвергается, если во е Dn, и отвергается в противном случае. [c.541]

Вернуться к основной статье