Модели рынка. Равновесие

из "Методы микроэкономического анализа "

Далее / = 1,. ..,ш — множество потребителей, J = 1,. ..,та — множество производителей (фирм), К = ./ — множество товаров (благ). Для описания состояния экономики используются следующие переменные х — потребление i-м потребителем k-ro блага (k К), у — производство j-м производителем k-ro блага (отрицательные компоненты соответствуют затратам), pk — цена k-ro блага. Константа w означает начальный (до торговли) запас блага k у потребителя г. [c.11]
Оптимальные выборы потребителя во многих случаях удобно характеризовать при помощи теоремы Куна — Таккера (это вариант теоремы Лагранжа для ограничений — неравенств). [c.11]
Обратная теорема Куна-Таккера (достаточное условие оптимальности) при условиях вогнутости всех функций / (.), (.) утверждает, что если в допустимой точке х нашлись множители Лагранжа удовлетворяющие требованиям прямой теоремы (условиям первого порядка), то точка х оптимальна. [c.12]
Для характеристики с помощью теоремы Куна —Таккера спроса участника г G / используем два условия. [c.12]
Предположение 1 (ВЫПУКЛ). Множество Xi выпукло, а целевая функция щ(.) вогнута (т.е. щ(1х + (1 — t)y) tui(x) + (1 — 1 щ(у] для Vt [0, l],Vx,y), либо может быть превращена в вогнутую каким-либо монотонным (строго возрастающим) преобразованием. [c.12]
Заметим, что если хоть одна производная и = 0, то цена pk = 0, иначе получаем противоречие с гипотезой внутреннего положения точки х . [c.13]
Отношение й /й называют предельной нормой замещения (в потреблении) блага k на благо s. Таким образом, в индивидуально- рациональной внутренней точке (равновесии потребителя) предельные нормы замещения благ равны отношению цен соответствующих благ. [c.13]
Замечание 2.1.1 Если при условиях (ГРАД), (ВЫПУКЛ) в задаче (9) пара Xi e X A 0) удовлетворяет условиям первого порядка (И), (12), то точка х есть равновесие потребителя при данных ценах и доходе и обратно всякое внутреннее равновесие потребителя удовлетворяет условиям первого порядка (И), (12). [c.13]
Модель производителя. При выборе объемов производства yj = у к каждая фирма j e J ограничена своим технологическим множеством YJ с 1R1. Эти множества допустимых технологий можно задавать в частности в виде (неявных) производственных функций fj(yj) YJ = УЗ е Rl /,(%) 0 . Другое удобное представление (когда производится только один товар h) — в виде явной производственной функции у gj(y h), где y h = (y k h — затраты (со знаком минус) всех других благ, необходимые для производства блага h. Чтобы привести этот случай к общему представлению Y через функции, достаточно записать /,-(% ) = — у + 9j(y h 0. [c.13]
Решение этой задачи также можно характеризовать при помощи теоремы Куна-Таккера. Используем два предположения. [c.14]
Предположение 3 (ВЫПУКЛ). Множества У,-, Vj выпуклы и заданы вогнутыми производственными функциями в виде fj(yj) 0, Vj. [c.14]
Функция Лагранжа для соответствующей задачи (13) равна L = pyj + / / (%), где Hj — множитель Лагранжа для технологического ограничения. При условии р О в точке максимума yj выполняется dL(yj)/dyk = О, откуда pk = fk(yj)nj (Vf G К) (здесь и далее fk — производная по товару k в точке y j). Рассматривая товары с ненулевыми ценами, заметим что //,, = О, и исключив //,,, получим дифференциальную характеристику точки равновесия производителя y j. [c.14]
Отношение fjl/fj2 называют технологической предельной нормой замещения блага ki на благо k2. Итак, в точке индивидуально- рационального выбора (в равновесии ) производителя технологические предельные нормы замещения благ равны отношению соответствующих цен. [c.14]
Для производственной функции типа /,(%) = 9j(yj) — yhj предельная норма замещения производимого блага h на другое (возможно, затрачиваемое) благо (k) равна — 1/ /j (в этом виде ее называют также предельной производительностью блага k), и аналогичное соотношение принимает вид —l/ /j = ph/pk. [c.14]
Дополнительное условие первого порядка есть fj(y j) = 0. Как и ранее, предположение (ВЫПУКЛ) гарантирует, что необходимые условия являются достаточными. [c.14]

Вернуться к основной статье