Еще один подход к ценообразованию опционов

из "Финансовая математика "

Как выше уже доказано, при биномиальной модели (см. 13.1) цена актива к концу л-го промежутка есть биномиально распределенная величина, которую можно представить в виде Sn=SQ+Xi+...+xn случайные величины х , i=. ..n, независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие два значения 1,-1 с вероятностями 1/2 каждое. Пусть цена исполнения опциона равна S0, т.е. равна рыночной, цене актива в настоящий момент 0. При этом предполагается, что So n. [c.112]
Докажем, что это и есть справедливая цена опциона. При этом для упрощения примем, что безрисковая ставка равна 0. Справедливость цены означает, что продавец опциона сумеет обеспечить исполнение опциона и не более, т.е. никакой прибыли на выписке опциона он не заработает. [c.113]
Далее опустим индекс у С и j i. Докажем, что С=1/2. Проще всего найти С, мысленно произведя над случайной величиной х большое число опытов, скажем, 100. При этом в 50 опытах х примет значение 1 и потому М[тах 0,х ]= 1/2. [c.113]
Теперь покажем, как продавец опциона может распорядиться этой суммой, чтобы обеспечить исполнение опциона. Он берет в банке заем величиной So/2-1/2, добавляет к этой сумме вырученную за продажу опциона 1/2 д.е. и на сумму So/2 покупает половину единицы актива. Итак, сейчас у него имеется единица актива и портфель, состоящий из долга банку, актива стоимостью S0/2 и еще обязательства обеспечить исполнение опциона. Убедимся, что этот портфель безрисковый стоимостью 0. [c.113]
В самом деле, если к моменту, исполнения опциона цена актива увеличится на 1 д.е., то стоимость актива в портфеле увеличится до 1/2 (50+1), из этой суммы 1 д.е, пойдет держателю опциона, а остальное, т.е., So/2-Y2, - на погашение займа у банка. Если же цена актива упадет на 1 д.е., то держателю опциона ничего не надо платить, а актив портфеля будет продан за У2 ( о— 1) — это неточности долг банку. [c.113]
Докажем далее, что опцион не может стоить меньше чем С, в данном случае не может стоить меньше чем 1/2, ибо если он меньше 1/2, то это не позволит продавцу опциона обеспечить исполнение опциона, что означало бы крах всей опционной торговли. В самом деле, если бы опцион стоил меньше и при этом продавец как-то умудрялся обеспечивать исполнение опционов, то покупатель опциона имел бы строго положительный доход. Это позволило бы ему сговориться с продавцом опциона и они вместе бы построили денежную машину продавец без конца выписывал бы опционы, покупатель их покупал, а этот строго положительный доход они бы делили, т.е. производили бы деньги из ничего. Но это невозможно. [c.113]

Вернуться к основной статье