Основные матричные классы

из "Введение в теорию, методы и экономические предложения задач о дополнительности "

Связь перечисленных классов по включению показана на рисунке. [c.11]
Поясним включение PD в Р и RS и S в Р0. В силу полноты этих классов достаточно установить, что М е PD = det (М) 0 и М е RS( S) = det (M) 0. Пусть, от противного, М е PD и det (М) 0. Поскольку определитель произвольной матрицы равен произведению ее собственных значений, среди последних найдется А 0 — вещественное и неположительное. Для соответствующего собственного вектора ж(А) 0 верно ж(А)тМж(А) = А ж(А) 2 0, что противоречит положительной определенности М. [c.11]
Наконец, пусть М е RS. Тогда Мт е S и по доказанному имеем Мт е Р0. Но определитель матрицы при транспонировании не меняется. Поэтому также М е Р0. [c.12]
В связи с линейными задачами о дополнительности рассматривают еще два важных матричных класса, определяемых не конструктивно. Это класс Q, состоящий из матриц, порождающих разрешимые задачи о дополнительности вне зависимости от выбора вектора свободных членов, и класс Q0 матриц, для которых свойство разрешимости задачи L P(q, M) эквивалентно свойству совместности системы ее ограничений. [c.12]
К(М) = q задача (2.1)-(2.2) имеет решение , К0(М) = q система условий (2.1) совместна . [c.12]
Разумеется, К0(М) I) К(М), так как разрешимая задача всегда допустима. Обратное, вообще говоря, не верно. [c.13]
Теорема 2.1. Множества К(М) и К0(М) совпадают в том и только в том случае, когда множество К(М) выпукло. [c.13]
Свойства других матричных классов будут рассматриваться по мере необходимости. [c.13]

Вернуться к основной статье