Проекционные методы решения

из "Введение в теорию, методы и экономические предложения задач о дополнительности "

Обратимся к методам решения вариационных неравенств и нелинейных задач о дополнительности. Начнем с итерационных методов первого порядка, т. е. методов, не предполагающих дифференцируемости входящих в них отображений. Изложение будем вести для более общей задачи — задачи решения вариационного неравенства VI(X,F). [c.46]
Операция проектирования на множество X относится к обычным оптимизационным задачам и подробно здесь не обсуждается. Ее реализация может оказаться трудной, но часто оказывается и простой. В частности, в задачах о дополнительности N P(F), где X = R , она решается взятием положительной срезки координат проектируемого вектора. На практике в сложных случаях проектирование осуществляется приближенно, а его точность согласуется с другими параметрами алгоритма. [c.46]
Процесс (3.1) можно рассматривать как метод простой итерации для поиска неподвижной точки проекционного отображения Н из (1.12). Как показывает следующее утверждение, он сходится глобально, но лишь при достаточно сильных предположениях относительно монотонности и непрерывности отображения F. [c.46]
Теорема 3.1. Пусть X — непустое выпуклое замкнутое подмножество Rn и пусть отображение F X — Rn сильно монотонно с константой 7 0, от. е. [c.46]
Заметим, что на практике константы 7 и L редко известны заранее, и потому шаговый параметр а подбирают экспериментально, например, постепенным дроблением некоторого начального а0 0. [c.47]
Доказательство. Разрешимость задачи (3.2) вытекает из уже отмечавшегося свойства сильной монотонности отображения F7. Сосредоточимся на обосновании соотношения (3.3). [c.48]
Таким образом, последовательность (ж(7) , где 7 - +0, является ограниченной и имеет предельные точки. Последние являются решением VI(X, F), в чем легко убедиться путем перехода в соотношениях (3.2) к пределу по сходящимся подпоследовательностям. Но, в силу (3.4) и единственности минимального элемента ж, все такие предельные точки совпадают и равны этому элементу. [c.48]
Прежде чем сформулировать условия сходимости метода итеративной регуляризации, докажем ряд вспомогательных утверждений. [c.48]
Отсюда, ввиду неравенства 1/1 + а 1 + а/2, следует требуемое утверждение. [c.49]
Следующее утверждение хорошо известно из теории оптимизации ([9], с. 96) и потому приводится без доказательства. [c.49]
Сформулируем теперь основной результат сходимости для метода итеративной регуляризации. [c.50]
Остается воспользоваться леммой 3.3 и предположениями (3.6), (3.7) относительно параметров шага и регуляризации. [c.50]
Класс последовательностей, для которых условия приведенной теоремы верны, достаточно широк. В частности, в него входят последовательности вида ak = (1 + k) 1/2, 7f = (1 + k) 1/3. [c.50]
Если задача VI(X, F) разрешима и 0 а 1/L, обе последовательности из (3.8) сходятся к одному из ее решений. [c.51]
Приведем без доказательства условия сходимости модифицированной схемы. [c.52]

Вернуться к основной статье