Статистические оценки параметров распределения случайных величин по выборкам

из "Математическое моделирование в экологии "

Основная задача выборочного метода заключается в том, чтобы на основе изучения выборочной совокупности получить такие выборочные характеристики, которые как можно более точно отражали бы характеристики генеральной совокупности. [c.44]
Пусть изучается некоторый признак 0. По результатам выборки определяется оценка этого признака ь. Как бы тщательно ни была организована выборка, будем иметь некоторую ошибку 8 = 04 — 0 , которая будет отличаться от нуля. С этой точки зрения основная задача выборочного метода будет заключаться в том, чтобы величина 8 была как можно меньше. [c.44]
Чтобы выборочную оценку можно было считать доброкачественной и пригодной для решения поставленных задач, она должна обладать определенными свойствами. Наилучшие оценки обладают такими свойствами, как несмещенность, состоятельность, эффективность и достаточность. [c.44]
Выборочная оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание при любом объеме выборки равно значению параметра в генеральной совокупности, т.е. [c.44]
Если же имеется смещение, т.е. [c.44]
Таким образом, разность 04 — будет сколь угодно малой, а предел стремится к единице при увеличении объема выборки при 6 0. Свойство очевидно, так как чем ближе п к , тем ближе оценка ь к 0. Отсюда следует, что состоятельность оценки возрастает с увеличением объема выборки. [c.45]
Величина у называется доверительной вероятностью или надежностью, с которой оценка 0 заключается в интервал ( ми 062), она записывается в виде у= —а, где а — уровень значимости, определяющий величину вероятности того, что оценка 0 выйдет за пределы интервала м и еи. [c.46]
Ширина доверительного интервала равна И— 0М— и. [c.46]
Точечные оценки параметров распределения случайных величин. [c.46]
Основными методами получения точечных оценок являются метод моментов, метод наименьших квадратов (МНК) и метод максимального правдоподобия (ММП). [c.46]
Таким образом, х представляет собой эмпирическое, или выборочное среднее. Если вычислено среднее, то легко найти отклонение каждого наблюдения 8(. от среднего 8, =х,-х. [c.46]
Если As 0, то график плотности вероятности имеет скос с левой стороны от х, а если А5 О, то — с правой. [c.48]
Если Ek О, то кривая островершинная, при Ek 0 — плосковершинная (пологая). Метод моментов, как правило, приводит к состоятельным оценкам. Однако при малых выборках оценки могут оказаться значительно смещенными и малоэффективными. Метод моментов достаточно эффективен для оценки параметров нормально распределенных случайных величин. [c.48]
Метод максимального правдоподобия имеет большое преимущество по сравнению с другими методами точечной оценки. Он дает состоятельные, распределенные асимптотически нормально, эффективные оценки. Хотя эти оценки могут быть несколько смещенными. [c.48]
Такая функция называется функцией правдоподобия выборки и обозначается через L, т.е. [c.49]
Выборочная оценка, которая обращает в максимум функцию правдоподобия, называется оценкой максимума правдоподобия. [c.49]
Интервальные оценки параметров распределения случайных величин. Точечные оценки параметров не дают информации о степени близости оценки ЭЬ к соответствующему теоретическому параметру 0. Поэтому более информативный способ оценки неизвестных параметров состоит не в определении единичного точечного значения, а в построении интервала, в котором с заданной степенью достоверности окажется оцениваемый параметр, т.е. в построении так называемой интервальной оценки параметра 0. [c.52]
Я 0м 0 0,,2 =у, где а — уровень значимости. [c.52]
Интервал (04 , 042) называется доверительным, его границы 04 и 0W, являющиеся случайными величинами, соответственно нижним и верхним доверительными пределами. Любая интервальная оценка может быть охарактеризована совокупностью двух чисел шириной доверительного интервала Н = 04 — 0И, являющейся мерой точности оценивания параметра 0, и доверительной вероятностью у, характеризующей степень достоверности (надежности) результатов. Чаще всего в расчетах используется величина у равная 0,9 0,95 и реже 0,8 0,85 0,99 0,999. [c.53]
Для практического использования этой величины служит таблица, приведенная в приложении 5, в которой содержатся значения Ф для разных значений доли р, выраженной в процентах. [c.56]

Вернуться к основной статье