Методы анализа многофакторных экономических систем

из "Математическое моделирование в экономике "

Обычно некоторые переменные будут иметь сильное влияние на общее изменение структуры, в то время как другие будут влиять слабо или же незначительно. [c.298]
Одна из трудностей состоит в том, чтобы определить, какие переменные включать в модель и соответственно измерять. Например, если две переменные обладают идеальной корреляцией, то можно обойтись одной из них — вторая не несет в себе никакой дополнительной информации. [c.298]
В общем бывает неясно, какие переменные следует включить и какие исключить из рассмотрения, и возникает потребность в механизме отбора переменных или их комбинирования, таким образом, чтобы они включали всю доступную информацию наиболее эффективным образом. [c.298]
Если А=0 и к=1, мы получим то, что называется средней арифметической, которая часто называется центральным моментом первого порядка. Если же А сама является средней арифметической (X) и к=2, то мы имеем центральный момент второго порядка — дисперсию, характеризующую среднее отклонение Xi от среднего значения (i=l...N). При А, равном средней и к=3, получаем центральный момент третьего порядка, который является мерой скошенности. Корень квадратный от дисперсии называется средним квадратическим отклонением. [c.299]
Из формулы видно, что ковариация положительна, когда X и Y возрастают и уменьшаются синхронно, отрицательна, когда асинхронно, и равна нулю, когда X и Y независимы друг от друга. [c.299]
Метод главных компонент определяет и ранжирует подгруппы переменных по их вкладу в совокупную изменчивость. Каждая из этих подгрупп — это главная компонента и определяется степенью ковариации между компонентами подгруппы. Вклад каждой из главных компонент в совокупную изменчивость ранжируется согласно совокупной дисперсии подгруппы. [c.300]
При использовании анализа главных компонент общая изменчивость данных находится как сумма собственных значений (которая будет равна сумме элементов на главной диагонали С, известной как ее след). Затем компоненты (линейные комбинации переменных) выбираются в порядке убывания собственных значений, пока главные компоненты не будут отвечать за достаточно большую долю изменчивости. Таким образом, размерность системы признаков снижается и определяются наиболее важные компоненты (направления). [c.300]
Следовательно, общая дисперсия портфеля равна 0,000125. [c.300]
Метод главных компонент применяется в двух целях. Первая -г- это уменьшение размерности данных с многих до нескольких переменных. Это достигается путем определения групп первоначальных переменных таким образом, чтобы члены группы обладали корреляцией между собой, но группа в целом была бы линейно независима от других переменных или групп переменных. Линейно независимые группы переменных называются главными компонентами. [c.301]
Вторая цель, обусловленная первой, — это интерпретация данных. Это становится возможным благодаря тому, что метод главных компонент определяет линейные комбинации переменных и выстраивает их в порядке убывания их влияния на совокупную дисперсию первоначальных данных. Таким образом, первая главная компонента будет являться линейной комбинацией переменных, обладающей наиболее высокой дисперсией, вторая компонента — это линейная комбинация со второй по величине дисперсией и т. д. Это делает возможным объяснить большую часть дисперсии наименьшим возможным количеством компонент. [c.301]
Существует множество ситуаций в финансовой практике, когда желательно определить наиболее важные переменные или линейно независимые комбинации переменных, которые делают наибольший вклад в уровень риска. В нашем примере портфеля из двух активов будут только две компоненты. Однако в большом портфеле из N переменных будет N главных компонент. Некоторые из компонент будут обладать высокой корреляцией с другими, так что подгруппа в целом будет влиять на степень риска независимо от влияния других переменных или групп переменных. Метод главных компонент позволяет нам определить эти независимые линейные комбинации переменных и их влияние на совокупную дисперсию. Мы, таким образом, получаем более полное представление о том, что влияет на уровень риска и, следовательно, получаем возможность лучше управлять рисками. [c.301]
Сначала мы рассмотрим метод главных компонент на примере портфеля из двух инструментов, используя гипотетические данные из уравнения ( ), приведенного выше. Затем, чтобы понять этот материал, мы рассмотрим пример портфеля из четырех активов с использованием реальных данных. [c.302]
Мы должны найти собственные векторы, потому что они дают нам линейно независимые комбинации переменных — главные компоненты, которые влияют на совокупную дисперсию. Мы должны найти собственные значения, потому что они показывают, за какую долю совокупного риска отвечает каждая главная компонента. [c.302]
Запомним, что существует столько же собственных векторов, сколько переменных в дисперсионно-ковариационной матрице. [c.304]
Таким образом, мы видим, что это собственный вектор, а скаляр 0,000271 — это собственное значение. Аналогично собственное значение для второго вектора равно 0,000129. [c.304]
Доля совокупной дисперсии, которая приходится на счет каждой комбинации переменных, равна доле соответствующего собственного значения в сумме всех собственных значений. Сумма собственных значений задается суммой элементов главной диагонали в матрице D. В нашем примере сумма собственных значений равна 0,0(30400. Таким образом, собственный вектор с собственным значением, равным 0,000271, отвечает за 0,000271/0,000400, или 67,75% совокупной дисперсии. [c.306]
В данном примере используются реальные статистические данные, и было сочтено нужным пояснить используемое понятие фондового индекса. [c.307]
Индекс — это единичный описательный статистический показатель, который обобщает относительное изменение группы переменных. Используемые здесь фондовые индексы являются средними взвешенными цен по рыночной капитализации, потому что цены отдельных акций взвешены для отражения их относительной важности внутри группы. Для этого выбирается некий общий делитель постоянной (ОД), и в каждый данный период времени t сумма стоимостей всех входящих в группу акций делится на ОД. [c.307]

Вернуться к основной статье