Числовые ряды

из "Математика для социологов и экономистов Учебное пособие "

Это представление называется представлением числа 1/3 в виде ряда. Записанное равенство не означает, разумеется, что мы складываем бесконечно много чисел и в результате получаем 1/3. Бесконечное число суммирований нельзя произвести. Речь идет о том, что 1/3 является числом, от которого сумма отличается сколь угодно мало, если сложить достаточно много членов. [c.51]
Поставим теперь обратный вопрос для всякой ли периодической десятичной дроби (соответствующего ряда) найдется обыкновенная дробь, которая в нее преобразуется Ответ на этот вопрос положителен. Для доказательства достаточно использовать бесконечную геометрическую прогрессию. [c.51]
Напомним некоторые сведения о геометрической прогрессии. [c.52]
Геометрическая прогрессия. Геометрической прогрессией называется последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число q. Число q называется знаменателем геометрической прогрессии. [c.52]
В результате мы преобразовали бесконечную десятичную дробь в обыкновенную. [c.53]
При других значениях д последовательность Sn не сходится. [c.53]
Таким образом, под суммой бесконечного геометрического ряда мы понимаем предел последовательности его частичных сумм. [c.53]
Пример геометрического ряда подводит нас к общему понятию числового ряда. [c.53]
Сумма п первых членов ряда Sn называется п-й частичной суммой ряда. [c.54]
При п — оо возможны два случая. [c.54]
Тогда говорят, что ряд сходится и число S называется суммой этого ряда. [c.54]
При неограниченном возрастании номера п сумма п первых членов Sn возрастает неограниченно или вообще не стремится ни к какому пределу. Тогда говорят, что ряд расходится и суммы не имеет. [c.54]
Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм — этот предел называется суммой ряда в противном случае ряд называется расходящимся. [c.54]
Только понимание суммы ряда как предела частичных сумм позволяет избежать многих недоразумений и парадоксов. [c.55]

Вернуться к основной статье