Основные понятия теории дифференциальных уравнений

из "Математика для социологов и экономистов Учебное пособие "

Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции и в которые входят не только сами функции, но и их производные. [c.359]
Если в уравнение входит первая производная и не входят производные более высокого порядка, то это уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка. Если же в уравнение входит вторая производная и не входят производные более высокого порядка, то оно называется дифференциальным уравнением второго порядка. Аналогично определяются дифференциальные уравнения третьего порядка, четвертого порядка и т. д. Из уравнений (17.2) первое является дифференциальным уравнением первого порядка, второе — дифференциальным уравнением второго порядка, третье — дифференциальным уравнением третьего порядка. [c.359]
Такие уравнения называются разрешенными относительно производной. [c.359]
Другими словами, функция ф(х], х (а, 6), называется решением дифференциального уравнения (17.3), если уравнение (17.3) при подстановке ее вместо у обращается в тождество по х на интервале (а, 6). [c.360]
Аналогично определяется решение дифференциального уравнения (17.2). [c.360]
В дальнейшем рассматриваются лишь уравнения, разрешенные относительно производной, т. е. уравнения вида (17.3), или уравнения которые приводятся к уравнениям вида (17.3). [c.360]
Задание уравнения вида (17.3) равносильно заданию функции /(ж, у) переменных ж, у. Геометрически функция / переменных ж, у — это функция, определенная на некотором множестве точек плоскости с координатами ж, у. [c.360]
Любая кривая, заданная уравнением у = ф(х), х Е (а, 6), где ф(х] — некоторое решение уравнения (17.3), называется интегральной кривой дифференциального уравнения (17.3). [c.360]
Из этого определения и геометрического смысла производной следует, что интегральная кривая уравнения (17.3) полностью лежит в области, в которой определена функция /, и что интегральная кривая в каждой своей точке М(х, у) имеет касательную, угловой коэффициент которой равен значению функции / в этой точке М. [c.360]

Вернуться к основной статье