Вспомогательный математический аппарат

из "Математические методы управления в условиях неполной информации "

Известное продвижение в постановках задач стохастического программирования и в методах их решения можно получить, записывая стохастические задачи в терминах функциональных пространств и используя для их анализа по крайней мере те конструктивные бесконечно-мерные аналоги методов математического программирования, которые к настоящему времени разработаны. [c.18]
В 1933 г. А. Н. Колмогоров j[166] предложил аксиоматику теории вероятностей, в которой он определил случайные события как множества и заменил теоретико-вероятностную терминологию теоретико-множественной. [c.19]
Пусть й — множество элементов, которые будем называть элементарными событиями, а 2 — множество подмножеств А из Q. Назовем элементы А множества 2 случайными событиями. Пусть система множеств 2 является алгеброй, т. е. Q 2, и сумма, пересечение и разность элементов множества 2 принадлежат множеству S. Каждому множеству Л из 2 приводится в соответствие неотрицательное действительное число Р(А) 1, называемое вероятностью случайного события А. [c.19]
Таким образом, множество случайных величин, имеющих математическое ожидание, это множество суммируемых функций х(и ), заданных на вероятностном пространстве (и, 2, Р). Более содержательные результаты по стохастическому программированию можно получить, если рассматривать лишь случайные величины, соответствующие некоторым подмножествам множества измеримых функций, определенным на (.и, S, P), например только функции л (со) с интегрируемым квадратом. [c.19]
Норма л в Но совпадает со среднеквадратическим значением 0 случайной величины х. В Я4 квадрат нормы равен сумме дисперсии и квадрата математического ожидания случайной величины л 2=ож2+ж2. [c.20]
Запись многих задач стохастического программирования в терминах гильбертова пространства Hin более прозрачна, чем в первичных вероятностных терминах. Ряд естественных для стохастических задач целевых функций оказываются линейными или выпуклыми функционалами в Hin. Некоторые ограничения, используемые в разных постановках задач стохастического программирования, высекают в Htn выпуклые множества. Таким образом, многие задачи стохастического программирования могут рассматриваться как задачи выпуклого программирования в гильбертовом пространстве Н п. [c.20]
Чтобы гарантировать существование M( hX)z, й=0,, 1,. .., s следует потребовать, чтобы компоненты случайных векторов съ. были почти наверное ограниченными величинами. Содержательные постановки многих задач стохастического программирования не требуют ограниченных дисперсий случайных параметров условий и компонент решения. При постановке и анализе таких задач естественно не ограничиваться рамками гильбертова пространства. Параметры условий и составляющие плана могут быть элементами более широких функциональных пространств. Выбор вероятностного пространства, среди элементов которого определяются решения задачи, — важный этап построения модели стохастического программирования, отвечающей изучаемому явлению. [c.20]
Приведенные выше формальные основы теории вероятностей являются в настоящее время общепринятыми. Однако неформальные интерпретации основных теоретико-вероятностных понятий до сих пор вызывают оживленные дискуссии. Обсуждаются три концепции вероятности объективная вероятность, субъективная вероятность и вероятностная логика. Об основных понятиях этих интерпретаций вероятности см., например, (178, 188, 237, 262, 281 — 283]. Новые подходы к случайности и, соответственно, новые интерпретации теоретико-вероятностных понятий вытекают из развиваемой А. Н. Колмогоровым и его учениками теории сложности. [c.20]
Пусть ц и Р — две меры, заданные на измеримом пространстве (Q,, 2). Мера ц абсолютно непрерывна относительно меры Р, если для всякого Ле2 равенство Р(А)=0 влечет равенство ц,(Л)=0. С помощью интеграла Лебега можно представить любую (конечную) меру (д., абсолютно непрерывную относительно меры Р. [c.21]
Теорема Ляпунова. Пусть m = (p-i,. . ., jxn) — непрерывная мера, определенная на некоторой а-алгебре 2 подмножеств Q. Множество значений векторной меры m выпукло и замкнуто. [c.21]
Методы построения решающих правил для стохастических задач во многих случаях основываются на необходимых и достаточных условиях экстремума в бесконечномерном выпуклом программировании. [c.22]
Изложим без доказательств элементы теории двойственности в функциональных пространствах. Читатель, готовый принять методы решения стохастических задач без обоснования, может пропустить пп. 3.4 и 3.5. [c.23]
Теорема 3.2. Если положительный конус GJ замкнут, то S=S и любое решение задачи (3.2) — (3.4) является решением задачи (3.6), (3.7) если кроме того, S — оо то каждое решение задачи (3.6), (3.7) есть оптимальный план задачи (3.2) — (3.4). [c.24]
Заметим, что доказательство эквивалентности задач (3.2) — (3.4) и (3.6), (3.7) проводится без каких бы то ни было предположений относительно функционала f, оператора Ф и множества G. [c.24]

Вернуться к основной статье