Пространство благ

из "50 лекций по микроэкономике Том 2 "

Многие теоретические вопросы обсуждаются в нашем учебнике применительно к случаю двух продуктов. В качестве удобного средства, существенно упрощающего их анализ, использовались графические построения, в которых набор, включающий два продукта в количествах хг, и х2 изображался точкой на плоскости с декартовыми координатами (х хг). Перевод теоретических понятий на геометрический язык делал свойства обсуждаемых явлений весьма наглядными и при этом не приводил к потере строгости все геометрические понятия (прямые, кривые, углы наклона и т. п.) имели точно определенные аналитические эквиваленты — уравнения, производные, соотношения между параметрами и т. д. Поэтому такие построения широко используются и в учебниках по экономике, и в научных публикациях. [c.576]
Однако эти геометрические рассуждения были строгими и точными лишь для случаев, когда перечень потребляемых благ включал всего два наименования. В действительности же число благ, которыми пользуются люди, значительно больше. Выводы, полученные геометрическим путем, можно считать обладающими достаточной общностью, если их удастся распространить на случаи произвольного числа благ. [c.576]
Под n-мерным пространством благ будем понимать множество числовых наборов вида (1). Каждый такой набор чисел будем называть точкой (элементом) пространства, или вектором, а числа х. — ее координатами, или компонентами. [c.577]
Рассматривая некоторое пространство благ, мы будем считать число компонент п — размерность пространства — фиксированным более того, на каждом месте в наборе (1) должно стоять количество блага определенного вида. Бели данный потребитель не использует какое-нибудь, скажем, А-тое благо, то будем считать xk = 0. [c.577]
Условимся обозначать точки пространства благ большими латинскими буквами, а их координаты — соответствующими маленькими буквами с индексами — номерами координат. Нам не придется каждый раз пояснять, что, например, г2 — это вторая координата точки Z. [c.577]
Точки X и Y будем считать равными и записывать X = Y в том и только том случае, если совпадают все их координаты xl = yt. Если же точки одинаковы в каком-то отношении (скажем, равноценны по потребительским предпочтениям), но имеют неодинаковые координаты, мы будем их считать неравными друг другу. [c.577]
Реальные наборы благ, разумеется, не могут иметь отрицательных координат. Тем не менее мы будем рассматривать пространства, точки которых могут иметь координаты любых знаков, чтобы в этих пространствах нашлось место не только для реальных наборов, но и для приращений, отклонений, шагов и т. д., а также для некоторых условных наборов, которые могут появиться в различных мысленных экспериментах. [c.577]
В пространствах двух и трех измерений сложение можно определить чисто геометрически — с помощью правила параллелограмма (рис. 1,а) или параллельного переноса (рис. 1,6). Такое геометрическое определение равносильно определению (2). Правило параллельного переноса удобнее в том отношении, что может быть распространено на произвольное число слагаемых (рис. 1,в). [c.578]
Особую роль в нашем пространстве играет нулевой элемент О = = (0,0.0) — начало координат . Для любого X справедливы равенства X + О = X, X - X = О. [c.578]
Для каждого элемента X существует противоположный элемент, который мы будем обозначать -X мы можем определить его следующим образом - X = О - X. Чтобы перейти от точки X к точке -X, нужно знаки всех ее компонент изменить на противоположные. Точка -X симметрична точке X относительно начала координат О. [c.578]
Если в обычном пространстве к каким-либо точкам X, Y, Z прибавить одну и ту же точку С, то точки X = X + С, У = У + С, Z = Z + С сохранят взаимное расположение исходных точек X, У, Z и лишь переместятся в направлении отрезка ОС на расстояние, равное длине этого отрезка (рис. 3). Таким образом может быть определена операция параллельного переноса некоторого множества (фигуры) перенос — это прибавление ко всем элементам множества одного и того же элемента С. [c.579]
Если же все элементы некоторого множества умножить на одно и то же число, то мы получим фигуру, подобную исходной и расположенную подобным образом . Такое преобразование в геометрии называется гомотетией с центром О и коэффициентом а (рис. 4). [c.579]
Введенные выше операции над элементами пространства благ имеют смысл при любой размерности пространства это позволяет нам использовать соответствующие геометрические термины (перенос, гомотетия), понимая их как результаты соответствующих арифметических действий. [c.579]
Множество точек, в которых функция принимает одно и то же значение ф (X) = а, называют поверхностью уровня функции. Поверхность уровня разделяет пространство на две части, в одной из которых Ф (X) а, а в другой ф (X) а. Если, например, функция ф (X) описывает количественную полезность наборов, то поверхность уровня содержит такие наборы, полезность которых равна одной и той же величине, т. е. она является поверхностью безразличия (в кардиналистском смысле). Позже мы обсудим свойства поверхностей безразличия, отказавшись от количественного представления полезности. [c.580]
Различным наборам коэффициентов 61,62.Ьд соответствуют разные линейные функции. [c.580]
В пространстве п измерений поверхность уровня линейной функции также будем называть плоскостью, хотя она отличается от обычной плоскости тем, что имеет не два, а п - 1 измерений (плоскость, размерность которой на единицу меньше размерности пространства, называют также гиперплоскостью). [c.580]
Если т — денежный доход потребителя, то уравнение s(X) = т описывает его бюджетную плоскость — аналог бюджетной линии из лекции 14. Бюджетная плоскость отсекает от координатных осей отрезки длиной m/pt ее положение в трехмерном пространстве показано на рис. 5. Покупательские возможности при доходе т описываются неравенством s(X) , т вместе с неравенствами дс, 0, х2 0,. ..,хп 0, выражающими неотрицательность объемов покупок. [c.581]
Убедиться в этом вы можете самостоятельно. [c.581]
Часто линейную функцию определяют как такую функцию, которая для любых точек X и У и любого числа а обладает свойствами (6) и (7). Можно доказать, что любая такая функция может быть представлена в виде (б), так что оба определения эквивалентны. [c.581]

Вернуться к основной статье