Динамический анализ временных рядов

из "Хаос и порядок на рынках капитала "

Техника, описанная в гл. 11, полезна в тех случаях, когда известны уравнения движения. Однако, на практике нам редко бывают известны все релевантные переменные системы, не говоря уже об уравнениях движения. Мы можем постулировать модели и пользоваться аналитическими методами, описанными в гл. 11, для изучения различных эффектов, но большинство данных при этом порождается используемыми уравнениями. Эти методы, применимые к известным уравнениям, не очень полезны для определения того, действительно ли реальная система хаотична, или нелинейна. Тем не менее они являются исходной точкой. [c.178]
Такого рода анализ систем известных уравнений — это чисто математический эксперимент. Поскольку такие системы не содержат помех, свойственных реальной жизни, мы имеем возможность изучать обратные связи, критические уровни и бифуркации. Среди критериев науки о хаосе эти системы наиболее близки к чистым формам, которые были столь дороги древним грекам. [c.178]
Эмпирический анализ никогда не бывает совершенным — он всегда содержит нечеткости. Аккуратные, упорядоченные странные аттракторы теории редко встречаются в реальной жизни. Тем не менее мы можем установить факт, что перед нами нелинейная динамическая система. Если же мы приходим к такому выводу, то можем создать модели из уравнений с целью установления закономерностей движения. Доказательство нелинейности системы — дело нелегкое, но осуществимое. Оно требует терпения и готовности к проверке различных идей, какими бы странными они ни казались. [c.178]
Эмпирические исследования требуют численных экспериментов. Реальность редко согласуется с теорией. [c.178]
В главе 11 фазовое пространство системы было исходным началом для всех измерений. Чтобы сконструировать истинное фазовое пространство, необходимо знать все переменные, релевантные системе. В реальной жизни мы обычно начинаем с одной известной динамической переменной. [c.179]
Прежде всего, размерность аттрактора не изменяется, так как мы помещаем его в размерность более высокую, чем его собственная. Плоскость, выстроенная в трехмерном пространстве, остается двумерным объектом. Линия, выстроенная в двумерном или трехмерном пространстве, остается одномерной. Аттрактор, если мы действительно имеем дело с нелинейной динамической системой, сохраняет свою размерность при увеличении размерности вложения сверх фрактальной размерности. Почему Потому что его точки коррелируют и остаются сгруппированными вместе безотносительно к размерности. Применительно к действительно случайному блужданию точки не коррелируют и заполняют любое пространство вложения, поскольку они перемещаются случайным образом. [c.181]
Поскольку мы восстанавливаем аттрактор в пространстве Размерности более высокой, чем истинная размерность аттрактора, проблем с размерностью не возникает. [c.181]
Следующий вопрос как мы можем узнать значение орбитального периода Методом нормированного размаха (R/S-анализ) было показано в части 2, как оценить период временного ряда в качестве величины времени, по достижении которого наблюдения становятся некоррелированы. Если значение орбитального периода не обнаруживается легко с помощью Я/5 -анализа, мы не имеем, по всей вероятности, достаточно данных. [c.182]
Восстановление фазового пространства становится относительно легким. Важно помнить, однако, что приведенное выше правило есть правило большого пальца , но отнюдь не закон. В экспериментах можно попытаться изменять это правило, наблюдая что происходит. Используя восстановленное фазовое пространство, мы можем вычислить фрактальную размерность и измерить чувствительность зависимости от начальных условий. [c.182]
Фрактальная размерность фазового пространства мало отличается от фрактальной размерности временного ряда. Временной ряд будет иметь размерность между 1 и 2, поскольку мы имеем дело с единственной переменной. Фазовое пространство включает в себя все переменные системы. Его размерность зависит от сложности изучаемой системы. [c.182]
Сначала выбираются две точки, отстоящие одна от другой по крайней мере на один орбитальный период. После установленного интервала времени ( эволюционного периода ) измеряется расстояние между этими двумя точками. Если расстояние становится слишком большим, ищется точка замены с той же угловой ориентацией движения, что и у исходной точки. Относительная угловая ориентация новой пары точек Должна быть по возможности ближе к ориентации пары исходной. [c.185]
После завершения вычислений по длинному временному ряду получается устойчивая величина L. Если нет устойчивой сходимости, это означает, что параметры выбраны неверно, или недостает циклов данных для анализа, или система в действительности не является нелинейной. [c.187]

Вернуться к основной статье