Модели со случайными факторами системы массового обслуживания

из "Математическое моделирование в экономике "

В этом параграфе мы рассмотрим наиболее распространенный в экономических (и не только экономических) исследованиях класс стохастических моделей модели систем массового обслуживания. Системы массового обслуживания встречаются повсеместно. Читатель сотни и тысячи раз пользовался такими системами, не догадываясь, видимо, что они являются объектом исследования одного и того же раздела теории принятия решения. [c.200]
Основным признаком системы массового обслуживания является наличие некоторой системы (обслуживающей системы), которая предназначена для осуществления действий, совершаемых согласно требованиям (называемым заявками), которые поступают нерегулярным образом. Поскольку обслуживающая система обычно имеет ограниченную пропускную способность, а заявки поступают нерегулярно, время от времени создается очередь заявок в ожидании обслуживающего устройства иногда же оборудование простаивает в ожидании заявок. Наиболее часто предполагается, что известен вероятностный закон, управляющий поступлением заявок. Впервые такой подход был применен датским математиком А. К. Эрлангом в начале нашего века для анализа работы телефонной станции. С тех пор методы теории массового обслуживания распространились на широкий круг разнообразных проблем, включающий в себя столь разнородные задачи, как анализ очереди в магазине и исследование пропускной способности дорог, мостов и перекрестков, исследование эффективности работы большого морского порта и небольшой автозаправочной станции, анализ работы ремонтной бригады на предприятии и кассира в кинотеатре и т. д. Делаются попытки проанализировать с помощью методов теории массового обслуживания даже такие вопросы, как эффективность работы промышленного предприятия в целом. [c.200]
Западе теория массового обслуживания даже получила название теория очередей . Поскольку обычно очередь — явление нежелательное, то для ее ликвидации естественно предложить увеличить мощность (пропускную способность) обслуживающих устройств. Однако поскольку заявки поступают нерегулярно, с увеличением своей мощности оборудование все большую долю времени будет простаивать, что также нежелательно. Таким образом, с экономической точки зрения задачи массового обслуживания сводятся к нахождению компромисса между двумя противоречивыми требованиями требованием ликвидировать очередь и требованием полностью загрузить оборудование. Убытки от возникновения очереди связаны с потерей времени покупателями в магазинах, простоем автомобилей на заправочных станциях, у мостов и перекрестков, кораблей в ожидании разгрузки и погрузки, затратами горючего самолетами в полете над аэропортом в ожидании посадки. Простой оборудования означает непродуктивное использование вложенных в него средств, которые в другом месте могли бы приносить пользу. [c.201]
Как уже говорилось, при анализе систем массового обслуживания вероятностные характеристики потока заявок обычно считаются заданными, а решение приходится принимать о характеристиках блока обслуживания и, иногда, о правилах нахождения в очереди. Это решение принимается таким образом, чтобы и потери от наличия очереди, и потери от простоя оборудования были приемлемыми. [c.201]
система массового обслуживания состоит из блока обслуживания, на который поступают заявки, из потока заявок и из очереди в ожидании обслуживания. Рассмотрим эти три основные составляющие системы массового обслуживания более подробно. [c.201]
Блоки обслуживания в соответствии с тем, что системы массового обслуживания встречаются в различных непохожих ситуациях, различаются между собой по многим показателям. [c.201]
Во-первых, блок обслуживания может состоять из одного или нескольких приборов . Под прибором понимается устройство или человек, обслуживающий заявки. Например, билеты в кинотеатр могут продаваться в одной или нескольких кассах. В первом случае блок обслуживания называют одноканальным, во втором — многоканальным. [c.201]
Примеры одноканальных блоков автозаправочная станция, на которой каждый вид бензина продается с помощью лишь одной бензоколонки речной вокзал небольшого городка с одним причалом газетный киоск с одним продавцом аэродром с одной посадочной полосой узкий мост на шоссе и т. д. Многоканальные системы обслуживания встречаются еще чаще турникеты в метро, которые всегда имеют вид батареи из нескольких устройств морской порт с большим числом причалов аэродром с несколькими работающими одновременно посадочными полосами парикмахерская с несколькими мастерами и т. д. Каждый канал может обслуживать одновременно одну или несколько заявок. Например, лифт высотного здания обслуживает сразу несколько человек, а кассир — только одного. [c.202]
Во-вторых, системы массового обслуживания могут быть однофазными и многофазными. В первом случае заявка обслуживается только одним прибором , после чего покидает систему например, покупатель билета в театре. Во втором случае заявка должна пройти некоторую последовательность приборов . Например, в сберкассе, прежде чем получить деньги, человек сначала должен быть обслужен контролером и только потом — кассиром. [c.202]
Наконец, каждый прибор обслуживает заявку в течение некоторого промежутка времени. Иногда продолжительность этого промежутка является заданной, иногда ее считают случайной величиной с заданным распределением. В некоторых моделях продолжительность обслуживания считают зависящей от длины очереди (кассир в магазине, например, в случае роста очереди начинает работать быстрее), а в некоторых случаях учитывают возможность выхода обслуживающего прибора из строя. [c.202]
Теперь о дисциплине очереди. Эта характеристика описывает порядок обслуживания требований, поступающих на вход системы. Чаще всего используется дисциплина в порядке общей очереди первым пришел — первым обслуживаешься. Такой порядок является наиболее простым с точки зрения математического моделирования следует заметить, что он обычно встречается лишь тогда, когда заявки в процессе ожидания выстраиваются в ряд. Возможны, однако, и другие дисциплины например, последним пришел — обслуживаешься первым. Такая несправедливая дисциплина может быть использована в том случае, когда в очереди стоят не люди, а некоторые беззащитные объекты — вагоны, автомобили (без водителей) и т. д. [c.203]
Иногда используется случайный порядок обслуживания, т. е. заявка выбирается из общего списка ожидающих заявок случайным образом. Кроме того, в очереди могут существовать приоритеты. Так, например, на предприятиях сферы обслуживания пенсионеры некоторых категорий обслуживаются без очереди. Наконец, может иметь место очередь с ограниченным временем ожидания, т. е. простояв в очереди некоторое заранее заданное время и не дождавшись обслуживания, заявка покидает очередь и исчезает из системы. Пример такого рода — заказ междугородного телефонного разговора, когда приходится предупреждать, что если разговор не будет дан до определенного времени, то заказ будет снят. [c.203]
Пусть необходимо выбрать один из нескольких вариантов автозаправочной станции, предназначенной для заправки автомобилей бензином определенного сорта. Автомобили прибывают на АЗС случайным образом, и, если не могут сразу приступить к заправке, становятся в очередь. Дисциплина очереди — первым пришел — первым обслуживаешься . На длину очереди ограничений нет — водитель не может направиться к другой станции. Предположим для простоты, что во всех вариантах рассматриваемой АЗС имеется лишь одна бензоколонка вариант от варианта отличается ее мощностью (средней скоростью заправки). Итак, автомобили прибывают на АЗС случайно. [c.204]
Величина (г имеет здесь смысл среднего количества обслуженных автомобилей в единицу времени (конечно, когда оборудование АЗС не простаивало в ожидании автомобилей), а величина 1/ц — среднего времени обслуживания автомобиля. В отличие от среднего количества автомобилей, приходящих в единицу времени, т. е. величины К, величина ц зависит от выбранного нами варианта АЗС. Более того, ее можно считать единственным показателем работы АЗС, на который мы можем оказать непосредственное воздействие. [c.206]
Теперь перейдем к анализу работы АЗС. Как мы уже говорили, обычно вызывают интерес такие показатели, как средняя длина очереди, среднее время простоя автомобиля в очереди, среднее время нахождения автомобиля на АЗС, средняя доля времени простоя оборудования АЗС и т. д. При тех предположениях, которые мы сделали здесь о нашей АЗС, ее модель может быть исследована теоретически, т. е. интересующие нас величины могут быть получены из характеристик входящего потока автомобилей и системы обслуживания. [c.206]
Очевидно, что имеет смысл рассматривать только те варианты АЗС, когда среднее время обслуживания 1/ц меньше среднего промежутка времени между прибытием автомобилей, ибо в противном случае очередь будет постепенно расти до бесконечности. В том же случае, когда 1/f.i 1A., через некоторое время после начала работы АЗС система перейдет в стационарный режим, т. е. ее показатели не будут зависеть от времени. [c.206]
Обозначим через Р (п) вероятность того, что в системе (т. е. в очереди и в процессе обслуживания) находится п автомобилей. Последовательность вероятностей (Р (0), Р (1),. .. называется распределением длины очереди. На ее основе можно подсчитать все интересующие нас характеристики системы. Поэтому приложим усилия к определению распределения длины очереди. [c.206]
Теперь вспомним, что сумма всех вероятностей должна равняться единице, т. е. [c.208]
Величину р часто называют нагрузкой системы. Итак, мы получили интересующее нас распределение длины очереди. Найдем некоторые из характеристик нашей системы массового обслуживания. [c.208]

Вернуться к основной статье