Выпуклые и вогнутые функции

ВЫПУКЛЫЕ И ВОГНУТЫЕ ФУНКЦИИ  [c.110]

Выпуклые и вогнутые функции 111  [c.111]

До настоящего момента мы находили локальные экстремумы. Однако в оптимизационных задачах, с которыми встречаются в экономике (и в других дисциплинах), обычно ставится задача нахождения абсолютного экстремума. Важность выпуклых (и вогнутых) функций в оптимизационных задачах связана с тем, что локальные минимумы (максимумы) таких функций являются абсолютными. Прежде чем мы это докажем (теорема 8), обсудим более детально свойства выпуклости (вогнутости) функций.  [c.170]


Выпуклая и вогнутая функции.  [c.107]

Экстремумы выпуклых и вогнутых функций  [c.147]

В зависимости от вида используемых критериев оптимальности целевых функций или функционалов) и ограничений модели (множества допустимых решений) различают скалярную О., векторную О., многокритериальную О., стохастическую О. (см. Стохастическое программирование), гладкую и негладкую (см. Гладкая функция), дискретную и непрерывную (см. Дискретность, Непрерывность), выпуклую и вогнутую (см. Выпуклость, вогнутость) и др. Численные методы О., т.е. методы построения алгоритмов нахождения оптимальных значений целевых функций и соответствующих точек области допустимых значений,—развитый отдел современной вычислительной математики. См. Оптимальная задача.  [c.247]


Свойства выпуклых (а следовательно, и вогнутых) функций рассматривались нами в Математическом приложении III. Одно из них применительно к вогнутым функциям сводится к следующему. Пусть j j, x2,. .., хп — произвольные значения аргумента вогнутой функции f(x), числа Xj, Х2,. .., Хп — неотрицательны, в сумме равны единице, а в остальном произвольны. Тогда  [c.652]

Естественным образом определяются на любом выпуклом множестве z и вогнутые функции.  [c.135]

Следовательно, с полным основанием можно сказать, что наиболее адекватно поведение инвестора описывает графическая модель б), изображенная на рис. 7.1. Эту выпуклую функцию называют функцией уклонения от риска, а линейную и вогнутую функции (рис. 7.1 в) и г))—соответственно нейтральной относительно риска и функцией стремления к риску.  [c.492]

Во-первых, это ограничения на вид системы стимулирования [вид функций fi(nt, yt),i ЕЕ /]. С практической точки зрения система стимулирования должна быть прежде всего достаточно простой. Последовательное выполнение этого принципа можно продемонстрировать на примере системы стимулирования за выполнение плана. Теоретически вид такой системы стимулирования может быть весьма экзотичным. Однако на практике, как правило, используется очень небольшое число функций штрафа за невыполнение плана весьма простого вида — кусочно-линейные функции штрафа, функции штрафа, не зависящие от плана, выпуклые и вогнутые сепарабельные функции штрафа. Ниже мы приведем подробное описание систем стимулирования с такими функциями штрафа.  [c.134]

В случае выпуклой и вогнутой возрастающих функций (рис. 5.2 и рис. 5.3) эластичность по абсолютной величине также будет равна  [c.75]


Геометрический смысл понятий выпуклости и вогнутости для случая функции одной переменной представлен на рис. 2.3. Из него, в частности, видно, что график выпуклой функции лежит ниже отрезка, соединяющего точки (x l f(x )) и  [c.91]

С другой стороны, любое допустимое состояние экономики ( ж,5г г, у, г ), для которого выполняется данное соотношение, может быть реализовано как равновесие при дополнительном предположении о выпуклости функции издержек с(у) и вогнутости функций по-  [c.420]

Заметим, что условия выпуклости функций затрат и вогнуто-  [c.29]

Замечание. В вышеприведенных определениях существенно, что S выпукло, поскольку необходимо, чтобы Ох + (1 — в) у , если ж, у 5. Очевидно, что строго выпуклая (вогнутая) функция является и просто выпуклой (вогнутой).  [c.111]

В качестве примеров строго выпуклых функций (одномерного) действительного аргумента можно привести ф(х) = х2 и ф(х) = ех (х > 0) функция ф(х) = In х (х > 0) — строго вогнута. Эти функции непрерывны (и даже дифференцируемы) в соответствующих областях определения. То, что эти частные свойства выполняются не для всех выпуклых (вогнутых) функций, можно видеть на примере функций  [c.111]

Аффинная функция нестрого выпукла и одновременно нестрого вогнута. Доказательство. Пусть ф — заданная аффинная функция, тогда  [c.111]

Выпуклость (вогнутость) функции позволяет нам легко найти ее абсолютный минимум (максимум), поскольку локальные минимумы (максимумы) таких функций являются одновременно и абсолютными.  [c.175]

Другой формулировкой результата теоремы 25 является то, что вещественная функция 0, определенная как ф(Л) = log Д , вогнута на множестве положительно определенных матриц. Это видно, если взять логарифмы обеих частей (2). Заметим, однако, что функция , заданная как ф(А) = Л , никогда не выпукла и не вогнута на множестве положительно определенных матриц. Это легко видеть, положив  [c.284]

Мр(ж, а) является вогнутой функцией от х при р 1 и выпуклой функцией от х при р 1. В частности,  [c.293]

Подчеркнем, что в соответствии с утверждением, доказанным в 5 гл. 5, в многоэтапных стохастических задачах с выпуклым функционалом фо(соп, хп) и вогнутыми составляющими вектор-функций (оД fe) и произвольной мерой рп, гак же как и в задачах с непрерывной мерой рп и произвольными функционалами о >о и tyh, оптимальные значения целевых функционалов на чистых и смешанных апостериорных стратегиях совпадают. Это значит, что для решения таких задач можно ограничиться построением оптимальных апостериорных решающих правил. Необходимость в построении оптимальных апостериорных решающих распределений в этом случае отпадает.  [c.212]

Теорема 4.2. Пусть Х и У — произвольные множества, а функция f(x, и) вогнуто-выпуклая на XxY. Если для любого  [c.215]

Лемма 4.2. Пусть f(x,y) выпукла по yg-Y, y. GX и вогнута по - G y /G и существуют функции  [c.216]

Как известно, условия первого порядка показывают точки экстремума, а для нахождения собственно точки максимума требуется найти условия второго порядка. Для того чтобы условия второго порядка действительно показали точку максимума, соответствующую (3), требуется предположить вогнутость функции полезности (1) и выпуклость множества производственных возможностей.  [c.407]

Таким образом, утверждения о выпуклости МПВ и о вогнутости функции трансформации равносильны. Попутно отметим, что если какая-либо из функций трансформации является вогнутой, то вогнуты и все остальные.  [c.669]

Свойства вогнутых функций симметричны свойствам выпуклых функций. Поэтому мы ограничимся рассуждениями по поводу выпуклых функций. Соответствующие формулировки и доказательства, относящиеся к вогнутым функциям, мы предоставляем читателю.  [c.118]

Отсюда следует, что наша гипотеза может обосновать утверждение 2, покупку страховок потребительскими единицами из категорий с низким доходом, только если функции полезности соответствующих единиц измерения не везде вогнуты гипотеза может обосновать утверждение 3, покупку лотерейных билетов потребительскими единицами из категорий с низким доходом, только если функции полезности соответствующих единиц измерения не везде выпуклы и гипотеза может обосновать утверждение 4, покупку и страховки, и лотерейных билетов потребительскими единицами из категорий с низким доходом, только если функции полезности соответствующих единиц не всюду выпуклы и не всюду вогнуты.  [c.232]

Возможное толкование функции полезности, изображенной на рис. 3, состоит в рассмотрении двух выпуклых участков как соответствующих качественно разным социально-экономическим ступеням и вогнутого участка как перехода между этими двумя ступенями. В соответствии с ним рост дохода, повышающий  [c.239]

Линейная функция характеризует случай, когда субъективная оценка полезности пропорциональна объективной. Выпуклая функция показывает, что темпы прироста субъективной оценки полезности отстают от темпов прироста объективной. Вогнутая функция, наоборот, показывает, что у рассматриваемого субъекта темпы прироста субъективной оценки полезности превышают темпы прироста объективной оценки. В последнем случае соотношение изменения субъективной и объективной оценок полезности в разных областях разное. В качестве примера смешанного характера изменения субъективной оценки полезности может служить стимулирующая роль премии до определенного уровня (скажем, 10— 20 руб. в месяц) субъективная оценка премии низкая, но быстро возрастает (вогнутая функция), на каком-то отрезке (от 20 руб. до 100 руб.) наблюдается линейный характер функции полезности, потом заинтересованность к увеличению премии возрастает медленнее (выпуклая функция).  [c.194]

Показать, что ф(Х) = tr X — одновременно выпуклая и вогнутая функция на пространстве Rnxn l.  [c.113]

Общая задача В.п. состоит в отыскании такого вектора х (т. е. такойточ-ки выпуклого допустимого множества), который доставляет минимум выпуклой функции J[x) или максимум вогнутой функции у(х) (рис. В.4). Для второго случая (выпуклая область допустимых значений и максимум вогнутой функции) ряд авторов предпочитают термин "вогнутое программирование". Выпуклость (вогнутость) важна тем, что гарантирует нахождение оптимального решения задачи, так как соответственно локальные и глобальный экстремумы здесь обязательно совпадают. Критериями оптимальности в первом случае могут быть, напр., издержки при различных сочетаниях факторов производства, во втором случае — величина прибыли при этих сочетаниях. Как видим, есть сходство между задачами выпуклого (вогнутого) и линейного программирования (последнее можно рассматривать как частный случай первого). Но нелинейность зависимостей делает задачу намного сложнее.  [c.57]

Чтобы функция FQ( ) была выпукла, достаточно, чтобы матрица Т = Tij была отрицательно определенной. Первые слагаемые в (9.108) отличаются от элементов 7 j матрицы Гессе исходной задачи неотрицательным множителем, так как функция FQ монотонно возрастающая. Если вторые слагаемые в этих выражениях равны нулю, то вогнутой функции достижимости исходной задачи будет соответствовать вогнутость и FQ( ).  [c.348]

Показать, что квадратичная форма х Ах (Л = А ) определяет выпуклую функцию тогда и только тогда, когда матрица А — неотрицательно определенная, и вогнутую — тогда и только тогда, когда А — неположительно определенная.  [c.112]

Теорема 4.3. [279]. Пусть X(Y) выпукло и компактно, Y(X) — произвольное выпуклое множество, a f(x, у) — вогнуто-выпуклая функция на XxY. Если f(x, у) полунепрерывна сверху по х для каждого г/еУ (полунепрерывна снизу по х для каждого у Х), то имеет место (4.1).  [c.215]

Заметим, что для богатого страховщика эффект рискофобии ничтожно мал). Итак, отказавшись от предположения о нейтральности обоих субъектов в пользу предположения об их несклонности к риску, мы пришли к заключению о существовании интервала значений страхового взноса 0.5001 < г < 0.6273, в пределах которого сделка выгодна для обоих участников. Какова в действительности будет плата за страхование, зависит от конкретных обстоятельств рынка страховых услуг. Выше мы выделили типы отношения индивида к риску в зависимости от знака выпуклости функции полезности богатства или, иначе, в зависимости от того, возрастает или убывает предельная полезность — производная u (w). Но характер изменения и (и>) может быть различным на разных участках. Исследуя такие разные формы поведения людей, связанного с риском, как страхование, участие в азартных играх и лотереях и т. д., М. Фридмен и Л. Сэвидж [3] пришли к выводу, что теория ожидаемой полезности фон Неймана—Морген-штерна совместима с такими, казалось бы, противоречащими ей фактами, как желание одних и тех же людей страховать свое имущество (несклонность к риску) и участвовать в лотереях (склонность к риску). Рис. 4 иллюстрирует характер функции полезности таких индивидов. При значениях w, близких к величине имеющегося в распоряжении индивида богатства (и>0), функция полезности вогнута, индивид стремится избежать риска и изъявляет готовность застраховаться. В то же время при существенно более высоких уровнях богатства  [c.654]

Интересна связь между данными постулатами и подразумеваемой формой функции производственных возможностей, где уровень и объем — альтернативные факторы роста выпуска. Изокванта с аргументами х я V может быть выпуклой или вогнутой. Вогнутая кривая обычно соответствует случаю, когда аргументами являются уровни выпуска двух различных видов продукции. Однако Дж. Хиршлейфер [3] указывает, что выпуклая кривая производственных возможностей подразумевается во многих инженерных функциях затрат, когда количество и качество являются альтернативами выпуска. Хиршлейфер, как видно из контекста, в действительности рассматривает случаи, где его количественная переменная относится к объему, а не к уровню выпуска. Если бы он действительно имел в виду уровень выпуска, а не объем, то его результаты не могли бы быть признаны резонными . Выпуклость или вогнутость изокванты, следует напомнить, определяется знаком выражения  [c.146]