Задача фильтрации и прогноза или, как ее еще называют, задача интерполяции, сглаживания и экстраполяции была впервые поставлена А. Н. Колмогоровым, как формально математическая задача [165, 167]. В начале второй мировой войны этой задачей занимался Н. Винер в связи с проектированием приборов управления огнем зенитной артиллерии. Дело в том, что при стрельбе по движущейся цели точка, в которую направляется снаряд, должна быть вынесена вперед по курсу цели на расстояние, которое пройдет цель за время полета снаряда. Любой метод слежения за целью связан со случайными ошибками наблюдения. Цель может совершить непредвиденный заранее маневр. Отсюда необходимость сглаживания и упреждения траектории цели. Для решения этой задачи проектируются приборы управления огнем зенитной артиллерии. В дальнейшем необходимость в сглаживании и упреждении при различных условиях и различных требованиях к качеству фильтрации и к области допустимых прогнозов возникла во многих задачах экономики, метеорологии и, главным образом, в теории и технике автоматического регулирования. [c.38]
Последовательный процесс накопления информации е отражен в одноэтапной задаче сглаживания и прогноза. Все решения о прогнозах, отвечающих моментам ti,. . ., tn, принимаются одновременно. Одно-этапная задача фильтрации и прогноза описывается одноэтапной моделью стохастического прогнозирования. Априорные решающие правила задачи определяют структуру зависимости от значений ( t) на (J(ti— [c.39]
Область Q определения задачи фильтрации и прогноза задается системой ограничений — равенств, неравенств или логических соотноше- [c.40]
От моделей сглаживания и экстраполяции скалярных случайных функций нетрудно перейти к моделям фильтрации и прогноза систем случайных функций — случайных вектор-функций. Следующий этап обобщения задач фильтрации и прогноза — это задача сглаживания и упреждения случайных полей. В таких задачах в каждый момент времени наблюдается ие реализация случайной величины, а проявление случайной многопараметрической ситуации. Учет пространственной корреляции облегчает фильтрацию случайных помех и повышает достоверность прогноза. [c.43]
Можно с самого начала формулировать задачу управления в условиях неполной информации, как задачу детерминированного управления сглаженными и экстраполированными в соответствии с теми или иными принципами процессами. Однако далеко не всегда удается разделить уже сформулированную задачу стохастического управления с заданным целевым функционалом и заданными ограничениями на две задачи на сглаживание и прогноз в соответствии с некоторыми принципами и на последующее детерминированное управление. Анализ, проведенный в гл. 14, устанавливает случаи, в которых задачи фильтрации и прогноза из достаточно широкого класса со сложными целевыми функционалами могут быть сведены к задаче сглаживания и упреждения по минимуму дисперсии. Полученные при этом результаты указывают пути выделения круга задач стохастического управления, процесс решения которых может быть конструктивно разделен на решение задачи прогноза и анализ задачи детерминированного управления. [c.44]
ЗАДАЧИ ФИЛЬТРАЦИИ И ПРОГНОЗА [c.300]
В общем случае при постановке задачи о сглаживании и прогнозе случайных процессов исключение систематических ошибок экстраполяции (равенство нулю первого момента ошибок упреждения) не является обязательным и тем более единственным требованием рациональной фильтрации или рационального прогнозирования. Больше того, в ряде случаев целесообразно расширить область определения задачи и заменить требование о нулевых систематических ошибках ограничениями на их величину. Могут быть указаны и другие неравенства и логические соотношения, которым в тех или иных содержательных задачах фильтрации и прогноза должны удовлетворять, сглаженные или упрежденные точки. Например, может быть ограничена дисперсия или корреляционные моменты случайных величин, зависящих от г (/о + п) и (М- Можно указать содержательные постановки, в которых область определения задачи естественно задавать вероятностными или жесткими ограничениями. Таким образом, в общем случае ограничения задачи сглаживания и экстраполяции высекают в Я не линейное подпространство и не линейное многообразие, а некоторую выпуклую или невыпуклую область G. [c.309]
В различных задачах фильтрации и прогноза бывает целесообразно подчинить выбор функции веса дополнительным-ограничениям, вытекающим из условий работы фильтра. В частности, может быть ограничен набор динамических устройств, из которых предполагается синтезировать сглаживающий или упреждающий фильтр. Дополнительные требования на переходные характеристики или амплитудно-частотные и фазово-частотные характеристики фильтра могут накладываться динамическими особенностями узлов, с которыми он связан единой схемой. В общем случае область GP определения целевого функционала задачи сглаживания и упреждения задается статистическими или вероятностными ограничениями. Ограничения адаптивных фильтров могут носить условно-статистический или условно-вероятностный характер. [c.311]
Обобщенные задачи фильтрации и прогноза [c.316]
Рассмотрим более сложные динамические задачи фильтрации и прогноза, в которых требуется при помощи одного и того же механизма получить сглаженные и упрежденные точки m-мерного случайного процесса,, соответствующие некоторой последовательности моментов времени, в которых значения изучаемых случайных процессов могут быть, вообще говоря, коррелированы. При этом показатель качества 316 [c.316]
Несколько необычная постановка задачи — включение искусственного рассеивания в качестве предмета стратегии — объясняется тем что задача оптимизации R( kij , mi) ли (ЦЛ -Ц) при тех или иных естественных ограничениях на выбор может не иметь решения. Добавление искусственного рассеяния расширяет множество допустимых стратегий и обеспечивает существование решения обобщенной задачи фильтрации и прогноза при весьма слабых допущениях относительно функционала R. [c.317]
Такие же теоремы существования имеют место и для задачи II и для многомерных аналогов обобщенных задач фильтрации и прогноза. [c.321]
Уже указывалось, что без включения искусственного рассеивания в качестве вспомогательного оптимизирующего механизма нельзя было бы гарантировать существование решения задач I и II при столь слабых ограничениях на выбор показателя качества прогноза. Можно построить примеры естественных целевых функций, зависящих от вторых или первых и вторых моментов ошибок сглаживания и упреждения, при которых задачи фильтрации и прогноза без искусственного рассеивания не имеют решения. В связи с этим представляют интерес условия, при которых задачи I и II без искусственного рассеивания разрешимы при любом целевом функционале R, удовлетворяющем допущениям (а) и (б). Эти условия определяются количеством, характером и взаимным расположением подпространств Li, i=, . .., п. [c.322]
Приведем -без доказательства несколько важных для приложений случаев, при которых обобщенная постановка задачи фильтрации и прогноза без искусственного рассеивания вполне корректна. [c.322]
В общем случае задача фильтрации и прогноза представляет сабой следующую задачу стохастического программирования [c.323]
Существование и единственность решения задачи фильтрации и прогноза в терминах случайных величин влечет за собой существование и единственность решения этой задачи в терминах функций веса. Отсюда, в частности, следует, что необходимым и достаточным условием единственности решения задачи II в терминах функций веса при [c.323]
Заметим, что задачи А и В могут быть сформулированы и как задачи фильтрации и прогноза случайных полей. При условиях, переформулированных естественным образом, доказывается существование решения соответствующих задач. [c.329]
Качественный анализ решения задач фильтрации и прогноза [c.329]
Подобное же утверждение может быть сформулировано и доказано для задачи фильтрации и прогноза случайных полей — аналога задачи В. [c.334]
Аналогичным образом вводятся и исследуются динамические аналоги задачи В и задач фильтрации и прогноза случайных полей. [c.340]
В гл. 12 предпринята попытка систематизации моделей стохастического программирования и рассмотрения различных стохастических моделей с единых позиций, основанных на лексикографической оптимизации. Главы 13—14 посвящены различным подходам к постановкам и решению задач оптимального прогнозирования. iB гл. 13 задачи прогнозирования рассматриваются как задачи пассивного стохастического программирования. В гл. 14 классические модели фильтрации и прогноза и их различные обобщения исследуются как задачи активного стохастического программирования. [c.6]
В настоящей главе излагаются различные постановки задач сглаживания и экстраполяции случайных процессов и указываются общие схемы стохастического программирования, в которые они могут быть уложены. Общие подходы стохастического программирования позволяют модифицировать модели фильтрации и прогноза, унифицируют методы анализа и расширяют область их приложения. [c.301]
Введенные понятия позволяют строго поставить задачи сглаживания и прогноза и исследовать возможности синтеза линейных систем фильтрации и упреждения при различных критериях качества и различных ограничениях на статистические характеристики выходного сигнала. [c.306]
Пусть вначале /п=1. Обозначим, по-прежнему, через i (t) случайную функцию, характеризующую течение интересующего нас процесса, а через (/)—наблюдаемый случайный процесс. Пусть ti,. .., in — фиксированные моменты времени, в, которые требуется сгладить или прогнозировать случайную функцию r (t). Обозначим через i = ( t, Ti) сглаженное или упрежденное (в зависимости от постановки задачи) значение r (-t). В задачах линейной фильтрации и прогноза [c.317]
Решение вариационных задач А я В фильтрации и прогноза при сложных показателях качества можно свести к решению более простых вариационных задач сглаживания и экстраполяции по минимуму дисперсии и экстремальных задач, позволяющих вычислить статистические характеристики искусственного рассеивания [344, 345]. [c.329]
Классическая задача сглаживания >и экстраполяции по минимуму дисперсии формулируется для случая /2=1. Целевой функционал R задачи — второй момент k = ku ошибок прогноза (с обратным знаком). Область допустимых планов определяется требованием несмещенности оценки m=mi = 0. Механизм сглаживания и прогноза предполагается линейным и определяется (в дискретном случае) набором весовых коэффициентов рц. Фильтрация по минимуму дисперсии целесообразна при отсутствии нерегулируемых ошибок. [c.41]
В 2 основные понятия, связанные с рассмотрением стохастических экстремальных задач как моделей бесконечно-мерного математического программирования, конкретизируются применительно к задачам сглаживания и прогнозирования. Параграфы 3—4 посвящены различным постановкам и методам анализа задач сглаживания и экстраполяции по критерию минимальной дисперсии. В 5 обсуждаются модели фильтрации и прогнозирования,по сложным критериям качества, позволяющим достаточно полно учесть динамику процесса управления. Критерии качества рассмотренных здесь моделей прогноза связывают решения, отвечающие не одному, а нескольким моментам времени. К таким моделям сводятся многие практические экстремальные задачи, в которых необходимо оптимизировать вероятность попадания по крайней мере s [c.301]
Устройства и системы управления со сглаживанием по минимуму дисперсии — аналоговые фильтры и программы для ЦВМ — в настоящее время хорошо отработаны. Фильтры, отвечающие другим показателям качества прогноза, обычно выпадают из поля зрения инженеров. Однако далеко не всегда стремление к минимальному рассеиванию ошибок фильтрации или прогноза соответствует задаче управления. В частности, при наличии нерегулируемых случайных возмущений, воздействующих на управляемый процесс, уменьшение дисперсии регулируемых ошибок может прийти в противоречие с естественными требованиями к управлению. [c.324]
Далее следует задача окончательного выбора идеи. Если после фильтрации всего перечня идей остались наиболее привлекательные, а их количество еще достаточно большое, чтобы принять к производству все, то для отбора подходящей идеи необходим более детализированный перечень критериев. Как правило, проведение данного этапа базируется на тщательном экономическом анализе прогнозов спроса, издержек производства и сбыта, необходимых инвестиций, уровня прибыльности, уровня конкуренции и т. п. Например, при анализе факторов конкуренции необходимо учитывать кратко-и долгосрочные показатели доли предприятия и его конкурентов на рынке сильные и слабые стороны конкурентов возможность появления новых конкурирующих предприятий и организаций вероятные стратегии действия конкурентов в ответ на новое изделие данного предприятия и пр. [c.20]
Обзор работ по специальной задаче стохастического программирования — задаче фильтрации и прогноза — и по итеративным методам стохастического программирования, связанным со стохастической аппроксимацией, приведены соответственно в гл. 14 и 15 настоящей монографии. Попытки получения общего подхода к различным схемам стохастического программирования предпринимались в работах И. Лемари [183], Д. Б. Юдина (352, 353], Ю. М. Ермольева [105, 107]. [c.18]
Чтобы расширить круг задач стохастического программирования, для которых стохастическая аппроксимация может служить итеративным методом решения, целесообразно также отказаться от рассмотрения ошибок наблюдения как аддитивного шума, наложенного на детер-. минированный процесс аппроксимации. На. этом предположении основано доказательство сходимости большинства вычислительных схем стохастической аппроксимации. Некоторые задачи стохастического программирования (см., например, 5 гл. 14 Обобщенные задачи фильтрации и прогноза ) требуют разработки итеративных процессов оптимизации функционалов вида / (Мш<р (ю, х)) на некотором множестве X. Итеративные процессы решения некоторых классов двухэтапных задач стохастического программирования должны обеспечить последовательную условную оптимизацию функционалов вида M JR М (ш,, о>2, хг,х2), [c.343]
Классические схемы стохастической аппроксимации разработаны для случая, когда оптимизируемая функция f(x) представляет собой функцию регрессии некоторой случайной величины у(х), зависящей от параметров — составляющих вектора к. Межлу тем различные прикладные задачи порождают необходимость в безусловной или условной оптимизации функций R(f(x)) от функции регрессии и более сложных целевых функционалов. Так, например, обобщенные задачи фильтрации и прогноза, рассмотренные в гл. 14, сводятся к оптимизации функционала вида R( kij , т), где т=тх, kij = kij(x) —первые и вторые моменты случайных ошибок прогноза, зависящие как от параметров (конечно-мерных или бесконечномерных), так и от характеристик механизма сглаживания и упреждения. Решение некоторых двухэтажных задач стохастического программирования сводится к оптимизации функционала вида [c.372]
В многоэтапной модели фильтрации и прогноза на i -м этапе, исходя из накопленной до сих пор информации и принятых решений, сглаживается или экстраполируется процесс т)(/) при t=ti. При этом, однако, учитывается, что критерий качества и ограничения задачи связывают между собой все оценки j, i—1,. .., п. Многоэтапная модель фильтрации и прогнозирования описывается многоэтапной задачей стохастического программирования с жесткими или условными статистическими или условными вероятностными ограничениями. В зависимости от содержательных особенностей задачи многоэтапная модель, как и одноэтап-ная, решается в априорных или апостериорных решающих правилах или решающих распределениях. [c.39]
Большая часть работ по сглаживанию и прогнозу основана на предположении, что исходные случайные процессы, представляющие полезный сигнал и иомехи, стационарны. Это значит, по существу, что статистические -свойства сигнала и иомехи не меняются со временем. Другими словами, предположение стационарности означает, что статистические закономерности случайных процессов, установленные при изучении их поведения в прошлом, сохраняются и в будущем. Предположение стационарности, обычно приемлемое при решении технических задач, не может быть использовано для составления долгосрочных экономических прогнозов, для предсказания погоды на длительный период и для экстраполяции случайных процессов, порождающий механизм и тенденция развития которых недостаточно изучены. Методы сглаживания и упреждения стационарных процессов могут быть обобщены и для так называемых квазистационарных процессов, статистические характеристики которых медленно меняются во времени. В соответствии с теорией фильтрации и прогноза квазистационарных процессов могут быть построены сглаживающие и упреждающие фильтры с медленно изменяющимися параметрами, оптимальные для локальных статистик. Как мы увидим далее, ряд качественных выводов теории сглаживания и экстраполяции сохраняет силу и в нестационарном случае. [c.301]
В задачах линейной фильтрации и прогноза случайные процессы L, и g связаны соотношением вида (5.1). Взаимнооднозначное соответствие между i Li и P(ii, т)еЯ (см. теорему 2.1.) позволяет переформулировать задачи I и II и общую модель (5.2) — (5.4) в терминах функций веса. Критерий качества R прогноза — функция первых и вторых моментов ошибок и матрицы k искусственного рассеивания — [c.323]
Меняя механизм фильтрации и прогнозирования (функцию веса P(to, т) в линейном случае), можно в широких пределах изменять ста1-тистические характеристики случайных величин , а следовательно, и погрешность б-прогноза. Строго говоря, случайные величины б следовало бы называть регулируемыми ошибками прогноза. В задачах управления ошибки прогноза складываются из ошибок вида (3.1), где определяется выбранным механизмом сглаживания и упреждения, и нерегулируемых ошибок прогноза — случайных погрешностей экстраполяции, не зависящих от выбора схемы прогнозирования. [c.307]
Смотреть страницы где упоминается термин Задача фильтрации и прогноза
: [c.41] [c.322]Смотреть главы в:
Математические методы управления в условиях неполной информации -> Задача фильтрации и прогноза