Основной тип дополнительной информации, с которым чаше всего приходится иметь дело при решении прикладных многокритериальных задач, — это информация об относительной важности критериев. Поэтому многие из существующих подходов к решению многокритериальных задач используют именно эту информацию, чаще всего в виде так называемых коэффициентов относительной важности критериев. Формальные определения этих коэффициентов у авторов таких подходов отсутствуют. Обычно считается, что эти коэффициенты должны назначаться экспертами. Но разве эксперт может оценить все возможные последствия своего назначения, проследить и просчитать влияние каждого из оцениваемых коэффициентов на механизм выбора, соответствующий тому или иному методу Как правило, эксперты вообще не имеют никакого представления о том методе, в котором будут использоваться назначенные ими коэффициенты. Таким образом, одни специалисты назначают коэффициенты относительной важности, затем другие специалисты применяют тот или иной метод, а ЛПР, несущее ответственность за принятое решение, является некоей третьей стороной, не разбирающейся ни в коэффициентах, ни в методах принятия решений. В итоге — низкое качество принимаемых решений со всеми вытекающими их этого последствиями. [c.11]
В этой книге принято последовательное изложение и основывается оно на формальном определении понятия количественной информации об относительной важности критериев. В его основе — математическое определение высказывания один критерий важнее другого с определенным коэффициентом относительной важности . Примечательно, что предлагаемое определение имеет настолько простую логику, что вполне доступно для понимания не только специалистам, но и лицам, ответственным за принятие решений и не располагающим особыми знаниями в области математики. Последнее обстоятельство немаловажно, если учесть, что сведения об относительной важности критериев поступают чаще всего именно от этих лиц и чем лучше они понимают смысл относительной важности, тем более точную информацию о важности критериев они представят специалистам. [c.12]
В четвертой главе выясняется, каким образом производить учет не одного сообщения об относительной важности критериев, а целого набора такого рода сообщений. Сначала подробно разбирается случай двух сообщений. В частности, выясняется, что при определенных значениях числовых коэффициентов относительной важности вполне возможен случай, когда один критерий важнее другого, а тот, в свою очередь, важнее первого. В этой же главе изучается вопрос непротиворечивости произвольного набора информации об относительной важности критериев. Приведены три утверждения, с помощью которых всегда можно проверить является ли определенный набор информации противоречивым или нет. Далее исследуется вопрос учета произвольного набора количественной информации об относительной важности критериев и предлагается отличный от упомянутого ранее так называемый алгоритмический подход. Для случая конечного множества возможных решений формулируется алгоритм этого подхода, использующий симплекс-метод решения канонической задачи линейного программирования. [c.13]
В этой главе закладываются основы теории относительной важности критериев. Прежде всего, дается определение понятия относительной важности для двух критериев и изучаются его простейшие свойства. Центральный результат главы — теорема 2.5, которая показывает, каким образом информацию о том, что один критерий важнее другого критерия с заданным коэффициентом относительной важности, можно использовать для сужения множества Парето. [c.43]
Необходимо добавить, что отмеченная выше степень относительной важности критериев, а значит и величина коэффициента относительной важности 9,у-, находится в прямой зависимости от типа шкалы, в которой измеряется тот или иной критерий. Подробнее об этом пойдет речь в разд. 2.4. [c.47]
Теорема 2. 1. Пусть отношение предпочтения > удовлетворяет аксиомам 2 и 3. Если i-й критерий важнее j-го критерия с положительными параметрами w, w, то i-й критерий будет важнее j-го критерия с любой парой положительных параметров w/, wj, удовлетворяющих неравенствам w/ > w, wj < w. Иначе говоря, если i-й критерий важнее j-го критерия с коэффициентом относительной важности 9i , то i-й критерий будет важнее j-го критерия с любым меньшим, чем 9, , коэффициентом относительной важности. [c.47]
Следует отметить, что само число б,-,- может как оказаться коэффициентом относительной важности, так и не быть таковым. Иначе говоря, может реализоваться любой из двух возможных случаев ё - е А или QtJ A. [c.49]
Упрощение основного определения. Определение 2.1, данное в разд. 2.1, придает точный смысл выражению /-и критерий важнее у-го критерия . В этом определении присутствуют два числовых параметра, с помощью которых вводится коэффициент относительной важности критериев, измеряющий степень относительной важности. [c.58]
Определение 2.4. Пусть i,j е /, i j. Говорят, что i-й критерий важнее j-го критерия с коэффициентом относительной важности 90 е (0,1), если для вектора у е Rm вида (2.4) выполнено соотношение у > 0 г [c.60]
В соответствии с определением 2.4 для того чтобы проверить, действительно ли /-и критерий является важнее у-го критерия с коэффициентом относительной важности 9,7 е (0,1), достаточно убедиться, что вектор у вида (2.4) предпочтительнее нулевого вектора, т. е. достаточно проверить справедливость одного соотношения у > 0т. Например, если вектор (0.7, -0.3, 0) оказывается для ЛПР более предпочтительным, чем (0, 0, 0), то первый критерий для этого ЛПР важнее второго с коэффициентом относительной важности 012 = 0.3. [c.60]
Теорема 2.5 (в терминах векторов). Предположим, что отношение предпочтения > удовлетворяет аксиомам 1-4 и i-й критерий важнее j-го с коэффициентом относительной важности Bjj e (0, 1). Тогда для любого непустого множества выбираемых оценок Sel Y имеют место включения [c.60]
Справедливости ради следует отметить, что в определенных случаях (в особенности, когда коэффициент относительной важности близок к нулю, а значит, критерии j и /у- почти равны друг другу) указанного выше сужения может и не произойти из-за со впадения множеств Парето относительно старого и нового векторных критериев, т. е. Р( ) = P(Y). Можно сказать, что в таких случаях имеющаяся информация об относительной важности критериев не является содержательной. [c.64]
Далее, формула (2.6) для пересчета нового критерия f на основе старого /чрезвычайно проста. В соответствии с ней новый векторный критерий из старого получается заменой Менее важного критерия jj на выпуклую комбинацию критериев fi и fj с коэффициентом относительной важности 8,7. Все остальные старые критерии сохраняются. Нетрудно видеть, что при подобном пересчете у-го критерия многие полезные с точки зрения оптимизации свойства критериев/ и/ сохраняются. Например, если указанные критерии являются непрерывными, вог- [c.65]
Равенство (2.13) имеет наглядную интерпретацию в случае, когда множеством возможных решений является подмножество двумерного векторного пространства, т. е. когда X с R1 (рис. 2.5). Чем ближе коэффициент относительной важности 0,7 к нулю, [c.66]
Предположим, что имеется дополнительная информация о том, что первый критерий важнее второго с коэффициентом относительной важности 0.5. На геометрическом языке это означает, [c.68]
Сначала напомним определение коэффициента относительной важности критериев [c.74]
Второе ЛПР, оперирующее с рублями (если оно ведет себя так же как первое ЛПР), должно быть готово за 30000 руб. добавки по первому критерию пожертвовать тем же самым количеством изделий (10 штук) по второму критерию, поскольку один доллар (на момент принятия решения) приблизительно равен тридцати рублям. Поэтому для второго ЛПР коэффициент относительной важности будет равен [c.76]
Предложенное в предыдущей главе понятие относительной важности критериев здесь распространяется на общий случай двух групп критериев. Изучаются его простейшие свойства и показывается, каким образом производить учет информации о том, что одна группа критериев важнее другой группы с определенным набором коэффициентов относительной важности. Этот учет, как и в случае двух критериев, сводится к построению множества Парето относительно нового векторного критерия. Но при этом размерность последнего может быть существенно выше размерности исходного критерия. [c.77]
Если через А и В обозначить число элементов множества А и В соответственно, то число всех коэффициентов относительной важности, вводимых определением 3.2, равно произведению Л В. Например, если А = г , т.е. А = 1, то указанное число коэффициентов относительной важности будет равно В — количеству элементов менее важных критериев. [c.78]
Иначе говоря, если первая группа критериев А важнее второй группы критериев В с коэффициентами относительной важности ви для всех i е А и всех] е В, то первая группа будет важнее второй и с любыми коэффициентами относительной важности 8J,-, меньшими, чем ви, т. е. Э- - <0/ для всех i е А и всех] е В. [c.80]
По аналогии с рассмотрениями предыдущей главы можно ввести предельные коэффициенты относительной важности для двух групп критериев. [c.80]
Кроме того, можно определить и отношение несравнимой важности одной группы критериев по сравнению с другой группой. А именно, если любое положительной число 90 е (О, I) (при всех/ е Аи] е В) является коэффициентом относительной важности для группы критериев А по сравнению с группой критериев В, то в таком случае будем говорить, что первая группа критериев несравнимо важнее второй группы. [c.80]
В соответствии с данным определением, если, например, вектор (0.7, -0.3, 1) оказывается для ЛПР предпочтительнее нулевого вектора (0, 0, 0), то группа из первого и третьего критериев будет важнее группы, состоящей из одного второго критерия, причем соответствующие коэффициенты относительной важности равны [c.83]
В теореме 2.7 была установлена инвариантность включений (2.12) и (2.15) относительно линейного положительного преобразования критериев в случае относительной важности для двух критериев. Поскольку формулы для определения коэффициентов относительной важности и пересчета новых критериев абсолютно идентичны как в случае двух критериев, так и в случае двух групп критериев, то рассуждения, приведенные в доказательстве теоре мы 2.7, можно применить в данном случае двух групп критериев В итоге придем к следующему результату, имеющему несомненное практическое значение. [c.90]
Допустим, что первый критерий важнее группы, состоящей из второго и третьего критерия с коэффициентами относительной важности 8,2 = 6 3 = 0.5. В этом случае, согласно теореме 3.4 при учете подобного рода информации об относительной важности критериев следует рассмотреть новую многокритериальную задачу, в которой первый критерий остается прежним, а вместо двух менее важных второго и третьего критериев будут участвовать два новых критерия вида gn(x) = 2H, х) и g[3(x) = ( l, х) (см. рис. 3.3). Тем самым, конус целей, который образуется градиентами целевых функций в новой многокритериальной задаче, так же как и в исходной, имеет три ребра и три грани, но он существенно уже исходного конуса, образованного векторами с, с2 и с3. [c.93]
Случай двух независимых сообщений. Пусть даны четыре непустых набора номеров критериев Аь Вх, Аъ В2, таких что /f, П й, = 0, А2 П В2 = 0. Предположим, что группа критериев Ах важнее группы Вх с набором коэффициентов относительной важности Q jj и одновременно группа критериев А2 важнее группы В2 с набором коэффициентов относительной важности Q /j. Тем самым, имеются два сообщения об относительной важности критериев. Будем говорить, что эти два сообщения взаимно независимы, если [c.94]
Теорема 4.1. Для того чтобы i-й критерий был важнее j-го критерия с коэффициентом относительной важности 0,7 и одновременно j-й критерий был важнее i-го критерия с коэффициентом относительной важности 6 необходимо выполнение неравенства [c.96]
Теперь перейдем к вопросу учета информации об относительной важности в случае, когда г-й критерий важнее у-го с коэффициентом относительной важности 9,7 и одновременно у-й критерий важнее /-го критерия с коэффициентом относительной важности Qjj. Напоминаем, что в контексте данной книги учесть информацию об относительной важности критериев — означает построить новую многокритериальную задачу, множество Парето [c.97]
Случай, когда один критерий важнее двух других. Если для сужения множества Парето используется сразу несколько сообщений об относительной важности критериев, то следует учитывать следующее обстоятельство. Пусть i-Vi критерий важнее У-го с коэффициентом относительной важности 6У и, кроме того, /-и критерий важнее к-то к j) с коэффициентом относительной важности Qik. Тем самым, имеется набор из двух указанных сообщений об относительной важности критериев, причем эта ситуация внешне напоминает ту, в которой /-и критерий важнее группы критериев j, к с коэффициентами относительной важности Ви и Bik. [c.98]
Оказывается, если i-й критерий важнее группы критериев /, к] с коэффициентами относительной важности 6,- ,- и Bik, то i-й критерий будет важнее каждого из критериев] и к в отдельности с теми же самыми коэффициентами относительной важности. [c.98]
Точно так же можно проверить, что большая важность г-т критерия по сравнению с группой критериев (/, к с коэффициентами относительной важности 90 и 0, влечет большую важность /-го критерия по сравнению с к-ы критерием с коэффициентом относительной важности Bik.v [c.98]
Вторая часть теоремы, выраженная в терминах коэффициентов относительной важности, непосредственно вытекает из доказанного Bbiiue.v [c.48]
Разберем первый случай более подробно. Если хотя бы одно число 8,7 е (0, 1) является коэффициентом относительной важности /-го критерия по сравнению с j-u критерием, то в соответствии с теоремой 2.1 любое меньшее число в пределах указанного интервала также является коэффициентом относительной важности для рассматриваемой пары критериев. Образуем два непересекающихся множества А и В. К первому множеству причислим все числа интервала (0, 1), которые являются коэффициентами относительной важности для данной пары критериев. Очевидно, А 0. Второе множество В составим из всех тех чисел указанного интервала, которые не являются коэффициентами относительной важности. При этом по условию В 0. Ясно, что A U В = (0, 1), причем неравенство а < b выполняется для всех а е A, b e В. Это означает, что множества А и В образуют сечение интервала (0, 1). В таком случае в соответствии с принципом Дедекинда существует единственное число 9, у (0,1), производящее указанное сечение. Это число можно назвать предельным коэффициентом относительной важности /-го критерия по сравнению с j-u критерием. [c.49]
Теперь предположим, что помимо аксиом 1 -4, которым удовлетворяет рассматриваемая задача многокритериального выбора, имеется дополнительная информация о том, что i-й критерий важнее >го критерия с коэффициентом относительной важности 8,7 е (0, 1). Наличие такой информации на геометрическом языке означает, что указан вектор у е Rm вида (2.4), для которого выполняется включение у е К. Таким образом, теперь известно, что конус К кроме неотрицательного ортанта содержит еще и вектор у, расположенный за пределами неотрицательного ортанта. [c.67]
Из доказательства последней теоремы видно, что коэффициент относительной важности 0, не является инвариантным относительно линейного положительного преобразования критериев. Более того, можно легко проверить, что он не является инвариантным и относительно преобразований вида ук = akykv. ук— ук + + ск, к = i,j. Это свидетельствует о том, что для различных измеряющих (различных ЛПР) коэффициенты относительной важности критериев будут различными, даже если они решают одну и ту же задачу выбора, имеют одинаковые предпочтения и выполняют измерения в шкале одного и того же типа. И в этом нет никакого Противоречия, поскольку указанные ЛПР могут использовать различные единицы измерения для одних и тех же критериев. [c.75]
Теперь пусть /-й критерий важнееу -го и к-то в отдельности с коэффициентами относительной важности 6, и Qik. В этом слу- [c.98]