Вторая производная не обращается в нуль и не определена лишь в точке разрыва ж = 4. Поскольку точка перегиба должна быть точкой графика функции, то график функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах выпуклости функции. В интервале (—оо, 4) вторая производная отрицательна, кривая выпукла вверх. В интервале (4, +оо) вторая производная положительна, кривая выпукла вниз. [c.179]
При убывающей отдаче от масштаба затраты будут расти в большей мере, чем выпуск, то есть для удвоения объема выпуска потребуется более чем вдвое увеличить количество применяемых ресурсов (рис. 5.1, д). Поэтому кривая LT будет вогнута или выпукла вниз (рис. 5.1, е). [c.88]
Обычно кривая безразличия вогнута (выпукла вниз, к началу координат). Это отражает то обстоятельство, что MRS чаще всего уменьшается с увеличением потребления одного товара вместо другого — так формулируется принцип убывания предельной нормы замены. Блага, между которыми существуют отношения исключительно заменяемости в потреблении — абсолютно заменяющие друг друга товары (совершенные субституты) — имеют кривые безразличия в виде прямых линий. Блага, потребляемые совместно для удовлетворения единой потребности, которые совершенно не могут заменить одно другое в потреблении — абсолютно дополняющие друг друга в потреблении товары (совершенно комплементарные блага) — имеют кривые безразличия в виде прямых углов. [c.119]
Вы знаете, что ваш друг в противоположность вам имеет строго выпуклые вниз кривые безразличия. Как вы бы описали поведение его нормы временных предпочтений Почему кривые безразличия вашего друга в экономическом смысле более правдоподобны, чем ваши [c.11]
Она определяет наклон кривой безразличия. При выпуклости вниз кривой безразличия норма временных предпочтений при уменьшении сегодняшнего потребления постоянно растет. Это означает чем больше ваш друг ограничивает свое сегодняшнее потребление, тем тяжелее ему [c.12]
Предпочтение сегодняшнего времени у Робинзона так сильно, что ему хотелось бы потреблять больше, чем это позволяет его начальный запас. Начертите на приведенном в пункте 1 графике выпуклые вниз кривые безразличия, которые это выражают, и объясните, как Робинзон может реализовать свой оптимальный план потребления. Покажите на рисунке объем его финансовых инвестиций. [c.13]
На рис. 4.7 слева изображена кривая эффективности с (гипотетической) снижающейся ветвью. Рассмотрим комбинацию доходность—риск Q. Ни один не расположенный к риску инвестор не стремился бы к позиции Q, так как он мог бы достичь той же самой доходности E[t p]q и с меньшим риском as. Q не эффективна, как и все позиции на снижающейся ветви. Следовательно, кривая эффективности, имеет во всей области определения положительный наклон. Для обоснования строгой выпуклости вверх кривой эффективности проверим, может ли она быть выпуклой вниз или линейной. Если нам удастся исключить эти два вида прохождения, то должна иметь место выпуклость вверх. [c.159]
Теорема 4.1. Если функция распределения F(t) имеет непрерывную первую производную, то кривая Лоренца выпукла вниз, т. е. у" > 0 (условие выпуклости вниз) [c.101]
Допущение об убывающей предельной норме замещения одного товара другим приводит к тому, что равноценные для конкретного потребителя товарные наборы должны лежать на выпуклой вниз кривой (см., напр., кривую Ui на рис. 2). Соответствующую кривую принято называть кривой безразличия. Нетрудно заметить, что наклон касательной к любой точке кривой безразличия, выражаемый через тангенс её угла к оси х, характеризует предельную норму замещения хлеба книгами. Т. к. вкусы индивидуальны, для каждого потребителя характерна особая крутизна (пологость) кривых безразличия. [c.223]
Если, например, для х < XQ кривая является выпуклой вверх и М(жо, /(XQ — точка перегиба, то для х > XQ кривая становится выпуклой вниз. [c.162]
Ответ Точка перегиба одна — 0(0, 0). В интервале (—оо, 0) кривая выпукла вверх, а в интервале (0, +оо) — вниз. [c.164]
Заметим, что для непрерывных функций, которые являются дифференцируемыми не во всех точках, также используется понятие выпуклости кривой. Оно возникает, например, в математическом программировании. Здесь не может быть использовано наше определение, использующее понятие касательной (касательной в этом случае может и не быть). Поэтому пользуются другим определением, основанном на понятии хорды. График функции (или сама функция) называется выпуклым (выпуклой) вниз, если каждая дуга кривой лежит не выше своей хорды. График функции (или сама функция) называется выпуклым (выпуклой) вверх, если каждая дуга кривой лежит не ниже своей хорды. [c.164]
Отметим, что, как показывает уравнение (2), при движении по кривой рыночного спроса сверху вниз абсолютные величины коэффициентов при Я закономерно возрастают из-за включения новых покупателей, и в целом кривая рыночного спроса оказывается выпуклой вниз. Это обстоятельство играет существенную роль при разработке математических моделей рынка. Так как число покупателей на реальном рынке весьма велико, изломы на кривой рыночного спроса становятся неразличимыми, и ее можно изобразить в виде гладкой линии. [c.86]
Наконец, на рис. 8.1,е представлена кривая LT для случая убывающей отдачи от масштаба. Здесь для удвоения выпуска требуется более чем вдвое увеличить количество применяемых ресурсов. Очевидно, что при неизменных ценах затраты будут расти в большей мере, чем выпуск. Этому соответствует выпуклая вниз конфигурация кривой LT . [c.322]
Теоретически существует четыре типа кривых безразличия (рис. 12.2). Прямая АЕ, параллельная оси абсцисс, характеризует ситуацию, когда инвестор безразличен (нейтрален) к риску. Выпуклая вниз кривая АВ представляет собой кривую безразличия инвестора с возрастающим неприятием риска - темп прироста требуемого дохода опережает темп прироста риска, т.е. незначительное повышение риска предполагает существенное увеличение дохода напротив, выпуклая вверх кривая АС является кривой безразличия с убывающим неприятием риска, т.е. принадлежит любителю рисковать. Наконец, прямая AD отражает постоянное, или неизменное, неприятие риска. Достаточно очевидно, что на практике отношение к риску подавляющей части инвесторов описывается кривыми типа АВ. [c.110]
Ее положительность вытекает из свойств 1)-3) следовательно, кривые безразличия выпуклы вниз. [c.137]
Это правило касания бюджетной линии кривой безразличия является лишь необходимым, но не достаточным условием максимизации полезности. Достаточное условие связано с определенной формой кривых безразличия, то есть с определённым свойством отношения предпочтения. Если предполагается, что предельная норма замещения уменьшается по мере движения вдоль кривой безразличия, или кривые безразличия являются строго выпуклыми вниз, тогда касание бюджетной линии кривой безразличия будет и необходимым, и достаточным условием максимизации полезности при заданном бюджетном ограничении. [c.25]
Оно базируется на предпосылке о строгой выпуклости отношения предпочтения и требует, чтобы кривые безразличия были строго выпуклыми (вниз). [c.6]
Как отмечалось в гл. 4, на многих предприятиях возрастающая отдача от масштаба при достижении некоторого объема выпуска сменяется на убывающую. В этой ситуации кривая LT до определенного уровня производства будет выпукла вверх, а затем — вниз (рис. 5.2, а). [c.88]
На рисунок нанесены и кривые безразличия этих двух индивидуумов. Для Трифона они выпуклы влево-вниз, а для Федора — вправо-вверх. [c.189]
Если смотреть на график из начала координат, нисходящая кривая может быть либо вогнутой, либо выпуклой. Наклон вогнутой кривой увеличивается (становится все круче) по мире продвижения вниз по кривой, тогда как наклон выпуклой кривой уменьшается (становится все более пологим). (Вспомните, что кривая производственных возможностей на рис. 2-1 (гл. 2) является вогнутой, что отражает закон возрастающих альтернативных издержек.) Заметим, что на рис. 2 кривая безразличия выпукла по отношению к началу координат. Значит, наклон кривой уменьшается, или становится более пологим по мере продвижения от точки у к точкам k, l, т и так далее вниз вдоль кривой. Пользуясь специальной терминологией, скажем, что наклон кривой безразличия отражает предельную норму замещения (ПНЗ), поскольку показывает, в какой сте- [c.471]
В общем, с увеличением количества продукта В предельная полезность его дополнительных единиц сокращается. Точно так же по мере уменьшения количества продукта А его предельная полезность возрастает. На рис. 2 мы видим, что, перемещаясь вниз по кривой, потребитель готов отказаться от все меньшего и меньшего количества продукта А в качестве компенсации за приобретение каждой дополнительной единицы В. В результате получаем кривую с убывающим наклоном, то есть выпуклую по отношению к началу координат. По мере продвижения вправо вниз вдоль кривой безразличия ПНЗ уменьшается. [c.472]
Как видно на графике, кривая производственных возможностей наклонена вниз увеличение производства блага А"требует переключения ресурсов с производства блага Y, сокращая тем самым его выпуск. Отрицательный наклон (и выпуклость) кривой производственных возможностей указывает на то, что ресурсы используются эффективно, поскольку увеличение производства одного блага может быть получено только за счет сокращения другого. Все точки внутри кривой неэффективны, так как не находятся на кривой производственных контрактов. Точки А и В отражают крайний случай, когда производится только одно из благ — Л"или Y. [c.291]
В-третьих, наклон кривой безразличия в разных точках неодинаков. Каждая точка на кривой — это соотношение предельной полезности товаров в каждом варианте потребительских предпочтений. Соответственно, предельная норма замещения одного товара другим определяет крутизну кривой безразличия на разных ее участках. Более пологий вид кривой по мере движения вниз и вправо означает ее выпуклость. Процесс замещения одного товара другим идет по убывающей. [c.136]
Выпуклость функции (вниз) — свойство кривой у = f[x), (где х — дей- [c.57]
Как отмечалось в главе 7, во многих производствах возрастающая отдача от масштаба сменяется при достижении определенного объема выпуска убывающей. Производственной функции с таким переменным характером отдачи от масштаба соответствует и меняющаяся конфигурация кривой долгосрочных затрат. До определенного уровня производства кривая LT выпукла вверх, а сверх него — вниз (рис. 8.2). [c.322]
Обратим внимание, что кривые безразличия имеют выпуклую к началу координат форму. Чем это объясняется Движение вдоль кривой безразличия сверху вниз означает, что потребитель отказывается от некоторого количества товара Б для получения дополнительного количества товара А. Выпуклый характер кривой говорит нам о том, что потребитель имеет дело с товарами, которые не являются полностью взаимозаменяемыми. Количество одного товара, от которого потребитель готов отказаться, чтобы получить дополнительную единицу другого товара, оставаясь при этом на данном уровне удовлетворения потребностей (на данной кривой безразличия), называется предельной нормой замещения (MRS). Предельная норма замещения может быть представлена как отношение MRS = АВ/АЛ. На рис. 5.13 показано, что по мере увеличения потребления товара А на каждую дополнительную единицу (ДД1 (движение от точки К к точке N) количество товара В, от которого потребитель готов отказаться (Аб), сокращается, т. е. предельная нор- [c.112]
Один из наиболее острых вопросов регрессионного анализа заключается в поисках наилучшего способа, позволяющего спрогнозировать форму зависимости между рекламой и объемом продаж. В стандартных компьютерных программах регрессионного анализа предполагается, что зависимость между рекламой и сбытом продукции линейна, тогда как чаще всего эта зависимость имеет вид несколько искривленной линии или, точнее, нелинейна. Так, рост объема продаж в зависимости от увеличения расходов на рекламу, начиная с некоторого уровня рекламных расходов, может иметь тенденцию снижения сбыта продукции. Вследствие этого на графике зависимости объема продаж от уровня рекламных расходов подобное явление "сокращения доходов" лучше всего отображать с помощью выпуклой кривой. Некоторые исследователи не признают описанный подход и продолжают считать, что указанная зависимость имеет форму S-образной кривой на первом этапе, когда расходы на рекламу невелики, объем продаж практически никак не реагирует на рекламу. По мнению этих аналитиков, необходимо какое-то время, чтобы она прошла "обкатку". После этого наступает момент, когда рекламный бюджет достигает критического минимального уровня и объем продаж начинает реагировать на увеличение рекламных расходов. И наконец, после фазы "уменьшение доходов" кривая на графике снова начинает загибаться вниз. Все три описанных типа зависимостей показаны на рис. 16.7. Исследователи в области статистического анализа пытаются выделить эти нелинейные зависимости в своих регрессионных моделях путем прогнозирования, каким будет график (или та или иная аналитическая зависимость) показателей объема продаж в зависимости от графика (или аналитической зависимости) показателя расходов на рекламу. Во многих работах, посвященных изучению формы реальной зависимости объема продаж от рекламы, делается вывод, что эта зависимость должна иметь форму сокращающихся доходов, хотя некоторые исследователи пытаются найти подтверждения, что эти зависимость описывается с помощью S-образной кривой [37]. [c.581]
В реальной практике операционный анализ не обходится без нелинейных зависимостей. Если переменные издержки на единицу отклоняются от уровня деятельности вниз и затем поднимаются (вогнутая кривая), а продажная цена снижается по мере роста уровня деятельности (выпуклая кривая), то график имеет две нелинейные зависимости доходов и издержек от уровня деятельности. Эти кривые, пересекаясь в двух точках Х и Хг, отражают диапазон положительного значения прибыли (рис. 1.5). ) [c.38]
Давайте сначала исследуем возможность выпуклой вниз кривой эффективности. Эта возможность изображена в правой части рис. 4.7. Здесь мы можем составить портфели из позиций L и N. Как мы знаем из теории портфеля, эти.позиции в наихудшем случае имеют коэффициент корреляции +1. Тогда все смеси можно изобразить в виде линейной комбинации N и L. Почему здесь речь идет о наихудшем случае, мы можем себе легко уяЧяштъ, если исходя из N составим смесь из обеих позиций. Рост доходности ДЕ(г], [c.159]
Посмотрим внимательнее на форму кривой AB D. Она выпукла вправо-вверх (вогнута к началу координат). Это связано с тем, что одни ресурсы могут использоваться более производительно при производстве предметов потребления, другие — средств производства. Двигаясь по границе производственных возможностей вправо-вниз и изменяя таким образом структуру производства в пользу увеличения выпуска предметов потребления, нам придется вовлекать в производство все в большей мере сравнительно малоэффективные для производства предметов потребления ресурсы. Поэтому каждая дополнительная единица выпуска предметов потребления будет требовать все большего сокращения производства средств производства. По мере приближения к любой из осей координат наклон кривой (к данной оси) будет увеличиваться, а значит, будут расти и альтернативные затраты. [c.12]