Перейдем к вопросам сходимости в вычислительной схеме Н. Н. Моисеева. Основное осложнение связано с тем, что теперь в разностной задаче (7) точки х могут принимать лишь дискретные значения а ., принадлежащие сетке 5. Поэтому в принципе может оказаться, что ни для какой пары точек из соседних сеток я., ж +1 не удастся построить соединяющей их траектории (1) на малом интервале [tt, t +1]. В этом случае разностная задача просто не имеет решения. Чтобы избежать этой опасности, следует наложить определенные ограничения на /г-шаг сетки по фазовым координатам. Кроме того, нужно гарантировать разрешимость элементарной операции. Эти вопросы исследовались в работах [56], [37]. Разрешимость разностной задачи и сходимости численного решения к решению задачи (1)—(5) была доказана в предположении некоторых свойств непрерывности функции Беллмана решаемой задачи. Однако для практики вычислений более существенным является другое условие шаги сетки hr по r-й компоненте фазового пространства должны быть связаны с шагом сетки по времени т соотношением ftr=T1+P>-, где рг 1 — некоторые числа, зависящие от строения области достижимости за малое время т для системы (1). Напомним, что областью достижимости D (Z, t) называется совокупность правых концов траекторий системы x=f (х, и), х (0)=z при произвольных измеримых и (t), и ( ) U, О t т. В работе автора [93] те же вопросы были решены только с одним предположением h—0 (t2). При этом под элементарной операцией следует понимать решение следующей простой геометрической задачи, являющейся аппроксимацией дифференциальной на малом интервале времени. Для расширенной системы (1) (пополненной уравнением x°=f(x, u), х° (0)=0) строится в каждой точке х область x- -tf (х, U) (если / (х, U) не выпукла, следует заменить ее выпуклой оболочкой). Далее эта область расширяется присоединением всех сфер радиуса ft2 с центрами в ж+т/ (x1U), Полученную область в пространстве х°, х1,.. ., хп обозначим DT (х), а ее проекцию на гиперплоскость х1, а 2,. ... . ., х" — jD (х). Если шаги сеток А=ста, то при определенном соотношении между с и С можно утверждать, что для любой точки xlj 5" найдется хотя бы одна точка xj.+i 5 41 такая, что [c.125]
Одним из важных предположений, лежащих в основе классических схем стохастической аппроксимации, является допущение об отсутствии систематических ошибок (о равенстве нулю математического ожидания ошибок наблюдений). Если это условие не выполняется, процесс может сходиться совсем не к точке оптимума (соответственно не к корню уравнения). Другим существенным допущением является сходимость [c.348]
Дальнейшее развитие численных методов было связано со стремлением учесть как ограничения u U, так и дополнительные условия F1=.. =Fm=Q (обычно они имели форму условий на правом конце траектории Ф( [х(Т)]=0). Кроме того, предметом особых усилий были ограничения в фазовом пространстве (Ф [х (t)] 0 при всех t) и ограничения общего вида (Ф [х (t), и (f)] 0). Именно связанные с учетом таких условий трудности стимулировали развитие методов вариаций в фазовом пространстве ( 15, 16 см. также [55], [56]). Эти методы настолько успешно справлялись с ограничениями в фазовом пространстве, что возникающие на этом пути серьезные трудности (отсутствие сходимости в методе локальных вариаций, медленная сходимость, ненадежные и неточные результаты, учет условий u U) в какой-то мере выпали из поля зрения. К тому же на основании спорных оценок числа операций был сделан вывод о преимуществе метода локальных вариаций перед другими итерационными методами (метод трубки, см. 16), и эта форма вариаций в фазовом пространстве стала, видимо, основным вычислительным инструментом. [c.112]
Замечание. Иногда М. Ф. Л. вводится и интерпретируется несколько иначе. В обычной методике штрафных функций с не очень большими коэффициентами штрафа не удается получить хорошее выполнение условий / (и)=0. Для того чтобы усилить сходимость процесса, не увеличивая коэффициента штрафа, задачу заменяют другой, сдвигая требуемые значения /,. (и). Пусть в процессе поиска получена какая-то точка и, в которой/ (м ) =0 и в окрестности которой дальнейшая эволюция и происходит слишком медленно. Тогда задача изменяется вместо условий / (и)=0 ставятся условия / (и) = —13/ (и ), где 3 — некоторый множитель. Тогда функция / (и) (3) метода штрафных функций превращается в [c.468]
Мы не моделировали ситуации, в которых получающий прибыль методом обучения ищет свой путь к оптимальным условиям. Причина отчасти в том, что наша имитационная модель непригодна для исследования этого метода. При отсутствии сдвигов функции прибыли хорошо разработанный метод уверенно достигает оптимума, как это вскоре будет показано. Накопленный опыт аналогичных математических операций, таких как метод Ньютона для приблизительного определения корней уравнения, позволяет предположить, что они будут обладать довольно высокой сходимостью. Только модели с частыми и непредсказуемыми сдвигами функций затрат и прибыли пригодны для серьезного испытания метода обучения, потому что только так мы можем увидеть, движется ли он к оптимуму быстрее, чем устаревает прошлая информация, использованная для его построения. Хорошая имитация метода обучения, построенная на функции фиксированной прибыли, в длительной перспективе должна почти наверняка оказаться эффективнее, нежели любые другие типы эмпирических методов, но будет ли так происходить на практике, полностью зависит от изменчивости соответствующих функций. [c.471]
ОММ моментов можно использовать, когда экономическая модель удовлетворяет условию, требующему, чтобы среднее значение произведения члена ошибки и наблюдаемой случайной переменной равнялось нулю. На практике среднее значение заменяется величиной, определяемой по набору данных. С помощью ОММ производится оценка истинных значений параметров путем построения тщательно подобранных линейных комбинаций ортогональных ограничений. Данный метод не требует никаких предположений о виде распределения ошибки, и полученные оценки общего метода моментов остаются состоятельными, даже если остатки оказываются серийно коррелированными по времени (или показывают, что имеют дисперсию, существенно зависящую от другой случайной величины). Чтобы гарантировать асимптотическую сходимость статистики, используемой в качестве оценки, необходимы только стационарность генерирующего процесса и эргодичность объясняющих переменных (краткосрочная ставка в IR-модели). [c.67]
Другая схема ускорения сходимости процессов Роббинса — Монро и Кифера"—Вольфовица, предложенная Фабианом, модифицирует многомерный процесс стохастической аппроксимации (процесс Блума). Поскольку оптимальная величина шага неизвестна, нецелесообразно проводить все измерения с одним и тем же шагом. Для данных хп и уп производят измерения с шагом xn+ kayn и после каждого такого измерения получают некоторую оценку иъ. Измерения проводят до тех пор, пока t>i>U2> >Vq-i Uq и полагают an = qu. При весьма общих условиях, налагаемых на Vh, предложенный процесс сходится с вероятностью единица. [c.365]
Равнорассеянные серии с незначимым различием между средними арифметическими считаются однородными. Если входящие в них экспериментальные результаты получены в одних и тех же условиях, это говорит о сходимости измерений, если в разных — о воспроизводимости. Под сходимостью понимается качество измерений, отражающее близость друг к другу результатов измерений, выполненных в одинаковых условиях, под воспроизводимостью — в разных (в различных местах, в разное время, различными методами и средствами). Если серии неоднородны (нерав- [c.125]
Формально метод штрафных функций решает все проблемы, однако при практической его реализации встретились серьезные трудности медленная сходимость, ненадежность и грубость результатов. Причины этих неприятностей были поняты, и сторонники метода сосредоточили свои усилия на решении соответствующих вопросов вычислительной технологии разработке надежных и эффективных методов поиска минимума для очень сложных, негладких, с оврагами и хребтами функций, методам подбора коэффициентов штрафа и тактике их изменения в процессе решения задачи. Эта работа продолжается, и в настоящее время ее перспективы еще не ясны. Идея метода штрафных функций имеет своих сторонников, которые надеются преодолеть технические сложности минимизации штрафного функционала. Одновременно начало развиваться и другое направление, в котором либо совсем не используют штрафных функций, либо стараются учесть методом штрафа как можно меньше условий. Разумеется, это потребовало определенного сужения класса задач. Легко были построены алгоритмы для задач, в которых имеется только ограничение и (t) U, а интегральных дополнительных условий (в частности, условий на х (Т)) нет. В этом случае после вычисления градиента w0 (t) образуется семейство и (s, t)=Pu [и (t) — Su>0 (t)], где Ри — оператор проектирования на U (в конечномерном пространстве). Далее S находится так же, как в простейшей задаче. Такие (или, в сущности, очень близкие) алгоритмы были предложены (под разными названиями) многими и применялись в расчетах (см., например, [43], [44]). [c.111]
При решении задачи С щ ( ) (рис. 53, 8) расхождение между точным оптимальным и, (г) и найденным численно оказалось относительно болыпим-хотя по значению Р точность приближенного решения —1% (точный min F0=0.95, приближенное решение дает F0=0,96). Было интересно выяснить, с чем это связано. На рис. 54 показана функция X (С), построенная по нескольким точкам С с помощью итерационного процесса (13). Видно, что уравнение X (С)=Х0 имеет два решения при Х > 0,997. Уравнение X (С)— =0,996 решения не имеет. Таким образом, при X ( ] i мы находимся так сказать на границе существования оптимального решения вида (12) ). Если бы дополнительное условие имело вид Х=Х0 < 0,996, то решения вида (12) уже, наверное, не было бы. Оптимальное решение имело бы какую-то другую структуру. Видимо, щ (() на рис. 53, 8 и несет па себе следы этой другой структуры. Для проверки этого предположепия было проведено решение вариационной задачи С варьированием только иг (t) при условии Х=1,035. Это решение (и Соответствующие этой задачи точные функции) изображены на рис. 53, в. Видно, что совпадение щ ( ) С точным Стало намного лучше. Выло бы интересно получить численное решение и при X, допустим, 0,96, когда структура (12) неосуществима. К сожалению, эта мысль пришла автору тогда, когда машина, на которой проводились расчеты, была демонтирована как устаревшая, а программа, написанная в кодах, оказалась, таким образом, утраченной (описываемые здесь расчеты проводились в 1965—1967 гг.). Предположения, которые были сделаны в связи с решениями задач (рис. 53), не очень строги точно так же, сходимость алгоритма (13) не гарантирована. Все это было подробно описано как типичный пример тех средств, к которым часто обращается вычислитель, имеющий дело С достаточно Сложной приклад-ной задачей. Успех является оправданием применяемых средств. [c.334]