Целый ряд постановок экстремальных задач содержит наряду с векторными и функциональными переменными их средние значения или средние значения функций, зависящих от этих переменных [5, 125]. Ниже мы покажем, что задачу с усреднением можно рассматривать как расширение экстремальной задачи, и сопоставим этот способ с другими способами расширения для задачи нелинейного программирования и вариационной задачи со скалярным аргументом. [c.316]
Усреднение в вариационных задачах. В вариационных задачах, где искомые переменные зависят от скалярного аргумента , введение усреднения позволяет получить решение в форме максимизирующих последовательностей и сформулировать условия оптимальности в форме принципа максимума для произвольного сочетания критерия оптимальности и ограничений. Предварительно дадим вспомогательные утверждения и определения. [c.323]
Назовем вариационной задачей в канонической форме задачу вида [c.324]
Необходимые условия оптимальности вариационных задач управления в классе скользящих режимов. Теорема 9.2 позволяет получить условия оптимальности в форме принципа максимума для задач с критерием и со связями разного типа. Причем эти условия удобно получить как следствие из более общего утверждения — условий оптимальности вариационных задач в классе скользящих режимов. [c.379]
Алгоритм получения условий оптимальности в форме принципа максимума для вариационных задач со скалярным аргументом сводится к следующим операциям. [c.384]
В любом случае на первом этапе определяют оптимальное решение вариационной задачи с точностью до неопределенных параметров. Подставляя это решение в ограничения вариационной задачи, находят уравнения связей между составляющими вектора параметров. Если число таких связей меньше, чем число неопределенных параметров, то, выражая критерий оптимальности через найденное решение, находят целевую функцию от введенных параметров. На втором этапе задача сводится к задаче нелинейного программирования относительно вектора параметров. [c.402]
Кротов В.Ф. Разрывные решения вариационных задач // Изв. вузов. Математика. - 1961. - №2. - С. 51-59. [c.404]
Аппаратура автоматической оптимизации ЛАО предназначена для автоматизации, решения на аналоговых вычислительных машинах краевых и вариационных задач, сводящихся к задачам оптимизации, из различных областей науки и,техники, и находит широкое применение в вычислительных центрах и организациях, использующих аналоговые машины любого типа. [c.137]
Решение вариационных задач А я В фильтрации и прогноза при сложных показателях качества можно свести к решению более простых вариационных задач сглаживания и экстраполяции по минимуму дисперсии и экстремальных задач, позволяющих вычислить статистические характеристики искусственного рассеивания [344, 345]. [c.329]
Задача прогнозирования по минимуму дисперсии ошибок при различных статистических характеристиках входных случайных процессов и ошибок измерений подробно обсуждалась в литературе. Имеются и стандартные аналоговые устройства и программы для ЦВМ, реализующие соответствующие схемы. Экстремальная задача, к которой сводится вычисление характеристик генераторов случайных шумов, несомненно, проще исходной вариационной задачи. [c.334]
R ( ka , та) и могут быть вычислены заранее по решениям вспомогательных задач fij и Ва и по формулам (8.9). Вариационная задача В сводится, таким образом, к вычислению вектора са и симметричной неотрицательно определенной матрицы /г° , на которых достигается максимум функции [c.338]
Изложение теории (в частности, доказательство принципа максимума) дается в редакции, отличающейся от общепринятой, но более подходящей для основного содержания книги. Большое внимание уделяется технике вычисления функциональных производных при различных способах определения функционалов. Эта техника сама по себе очень важна, особенно при численном решении задач. Кроме того, читатель, владеющий этой техникой, может, так сказать, сэкономить на теории. В современной литературе появилось много публикаций, где формулируется новый тип вариационной задачи и доказывается соответствующий вариант принципа максимума. В настоящей книге автор придерживается следующей точки зрения подобные исследования отличаются друг от друга в основном лишь формой уравнения, связывающего управление и состояние объекта, и формой определения функционалов. Следствием этого является и различие в необходимых для нахождения функциональных производных вычислениях. Поэтому эту техническую часть следует выделить и изучить отдельно. Все остальное формально укладывается в некоторую общую схему (см. 1). [c.13]
Постановка вариационной задачи [c.21]
ПОСТАНОВКА ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧИ 2J [c.23]
Другим важным обстоятельством, определяющим неклассический характер задачи оптимального управления, является наличие в задаче условий типа неравенств. Это — условия и (t) U, условия (17), (18). Они, как показал опыт решения таких задач, весьма существенны снятие подобных условий обычно полностью лишает задачу содержательной ценности, так как приводит к решениям либо физически нелепым, либо неприемлемым по техническим условиям. Как правило, в оптимальном решении имеются как интервалы времени, на которых реализуется знак равенства, так и интервалы, на которых реализуется строгое неравенство на первых условие может быть заменено привычным для классического вариационного исчисления условием типа равенства, на последних — снято. К сожалению, расположение и размеры этих интервалов выясняются лишь после решения задачи. Это обстоятельство также имеет глубокие последствия в вопросах конструирования численных методов классический вычислительный аппарат линейной алгебры становится неэффективным и заменяется более соответствующим характеру современных вариационных задач вычислительным аппаратом линейного (и нелинейного) программирования. [c.29]
Задача с параметрами. Пусть в постановку вариационной задачи входит набор параметров =1 , а2,.. ., ар], которые не фиксированы, но должны определяться наряду с управлением и ( ) и из тех же соображений. Такую задачу формально можно записать в таком виде [c.61]
В связи с этим стоит заметить, что первичная постановка вариационной задачи может иметь такой вид [c.65]
Есть еще одно важное для приближенного решения вариационной задачи требование для решения полученной краевой задачи должен существовать эффективный численный алгоритм. Известно, что проще всего в этом отношении задача Копта. Поэтому часто бывает удобно формально ввести параметры а в постановку задачи, записав краевые условия Г (х, а)=0 в виде, например, х (0) — <х=0 (если среди условий первичной постановки задачи есть условия, фиксирующие значения некоторых компонент х (0), то соответствующие компоненты а не варьируются). Имея в виду этот прием, 5 Р. П. Федоренко [c.65]
Задача с разрывной правой частью, таким образом, сведена к стандартной — зависимость правой части от t, как уже отмечалось, никаких осложнений не вносит. На этом можно было бы и закончить анализ, однако некоторые методы приближенного решения вариационных задач болезненно реагируют на увеличение числа дополнительных условий поэтому мы проведем выкладки, позволяющие избежать этого. И в этом случае мы ограничимся вычислением производной определенного на решении системы (13, 13 ) функционала [c.69]
Задачи для уравнений с запаздыванием [21]. Рассмотрим вариационную задачу, в которой управление определяет фазовую траекторию системы задачей Коши для уравнения с запаздыванием [c.72]
Принцип максимума. Если траектория (и ( ), х ( ) является решением вариационной задачи (1) — (4), то существуют вектор g= — 1, g1,.. ., gm и монотонно растущая функция a (f), точки роста которой выделяются условием G [x ( )]=0, такие, что [c.77]
В этом параграфе будут рассмотрены некоторые чисто теоретические аспекты вариационной задачи однако они имеют и практическое значение ясное понимание их необходимо при конструировании численных методов, рассчитанных на достаточно широкий класс прикладных задач. [c.81]
Скользящие режимы и прикладные задачи. Выше был рассмотрен характерный пример вариационной задачи, в которой экстремум достигается на скользящем режиме. Речь идет о следующей ситуации строится оптимизирующая последовательность траекторий и рассматривается ее предел. Оказалось, что фазовые компоненты этой последовательности имеют в качестве предела достаточно гладкую функцию. Но соответствующие члены последовательности управлений (или, если угодно, производных фазовых траекторий) естественного предела не имеют. Аналогичные примеры строились и в классическом вариационном исчислении. Например, задача отыскания 1 [c.93]
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ (конечномерные) [variation problems] — математические задачи, сводящиеся к поиску наибольших или наименьших значений функций в зависимости от выбора соответствующих аргументов (см. Экстремальные задачи, Экстремум). Решение задачи находится путем дифференцирования функции по аргументу (или аргументам, если их несколько), приравнивания производных нулю и решения полученной системы уравнений. [c.41]
Итак, мы имеем большое число возможных типов вариационных задач, некоторое число основных идей численного их решения и достаточно большое число возможных технологических оформлений. И каждый из элементов этих трех уровней может сочетаться если и не с каждым, то с большим числом элементов соседнего уровня. Вот эта-то комбинаторика и создает (в значительной мере) видимое разнообразие методов приближенного решения. Однако в этих комбинациях могут содержаться и очень ценные предложения, когда есть достаточно веские основания утверждать, что для данного специального класса задач следует выбрать именно данный подход и дополнить его именно одним конкретным вариантом технологии, а при других комбинациях получатся заметно менее эффективные или трудно реализуемые методы. Этой трехслойной структуре проблемы приближенного решения задач оптимального управления и соответствуют первые три главы книги. Во второй главе каждый возможный подход описан достаточно подробно, но самый низший уровень — технология вычислений — естественно, не излагается это уже материал третьей главы. Выше мы отмечали, что основных конструкций приближенных методов оказалось не так уж много. Автор надеется, что читатель, разобравшийся в этом материале, без труда убедится, например, в том, что очень большое число предложенных в разное время и в разных странах методов являются несущественными модификациями простейших вариантов метода проекции градиента. [c.14]
Анализ задачи. Важную часть теории вариационных задач составляет анализ задачи в целом и связанные с ним достаточные условия экстремума Вейерштрасса. Построенная им теория получила естественное обобщение в виде теории динамического программирования. [c.22]
Рассматривалась задача типа (1) с вектор-функцией х ( ), краевые значения которой могли быть полностью или частично заданы, вариационные задачи для функций нескольких независимых переменных — в этом случае функционал вычислялся через значения частных производных искомой функции. Наконец, изучались изопериметрические задачи, в которых, кроме минимизируемого функционала F [х ( )], определялись функционалы F [x ( )],.... . ., Fm [x ( )] того же типа (1), и на искомую функцию накладывались условия вида [c.23]
Основные типы задач, подходы к их решению и результаты были получены давно они связаны с именами таких классиков естествознания, как Эйлер, Якоби, Вейерштрасс. Однако бурное развитие техники ) после второй мировой войны, характеризующееся, кроме всего прочего, четкой тенденцией к созданию оптимальных по своим качествам конструкций, привело к постановке ряда частных задач, которые были вариационными по существу дела, однако либо не укладывались в привычные рамки вариационного исчисления, либо это удавалось сделать ценой нежелательных искажений задачи. Постепенно выработались некоторые типичные формы новых вариационных задач, получившие имена пионеров этой области так появились задачи Больца, Майера и другие. Отдавая должное этим ученым, мы не будем в дальнейшем пользоваться соответствующей терминологией, так как она отражает лишь историю становления современного вариационного исчисления, но не существо дела. Эти различные по наименованиям задачи не нуждаются ни в специфических методах теоретического исследования, ни в особых подходах при разработке алгоритмов их приближенного решения. Все эти задачи естественно укладываются в сложившуюся в настоящее время форму задачи оптимального управления, теоретический анализ которой не проще и не сложнее анализа упомянутых ее частных видов. Это же отно- [c.23]
В данной задаче такие выражения, как управлять системой , выбрать управление , определить управление и тому подобное означают одно и то же — задать на интервале управления [О, Т] некоторую функцию и (t). Естественно возникает вопрос о функциональном классе, из которого разрешается выбирать и (t). Удобным оказался класс измеримых функций. С точки зрения теорем существования решений вариационных задач класс измеримых функций очень удобен. Однако при выводе необходимых условий оптимальности обычно происходит сужение задачи сама исследуемая функция и (t) предполагается не произвольной измеримой функцией, а гораздо более простой, например, кусочно непрерывной, кусочно гладкой, но ее разрешается подвергать вариациям 8м (t), относительно которых уже никаких предположений не делается 3w (t) может быть произвольной измеримой функцией. Таким образом, объектом теоретических исследований является сравнительно простая функция и (t), которая должна быть оптимальной в гораздо более широком множестве произволь- [c.24]
Однако иногда это оказывается возможным пусть, как это часто бывает в прикладных задачах, уравнение для одной из компонент х не содержит управления l = fl(x). Тогда в постановке вариационной задачи допустим функционал Р п ( )1 = Ф [и1 ( ) , варьирование которого приводит к Формуле (6) с Y(t), имеющей особенность типа производной 8-функции. В этом случае Ъ 1 = РгЪх оказывается непрерывной функпией и соответствующий интеграл в (6) имеет смысл. Мы все же не будем рассматривать подобных обобщений, так как в этом случае функционалу легко придается стандартная форма (2) [c.31]
Для конструирования приближенных методов решения вариационных задач очень важна и интересна и негативная формулировка принципа если условия принципа максимума не имеют места, то исследуемая траектория и ( ), х ( ) ) не является оптимальной, в ее окрестности может быть найдена лучшая траектория (и (-)+8м ( ), х (-)- -Ъх ( ) , и нужно уметь ее найти. Поэтому следующий ниже вывод принципа максимума редак-ционно отличается от общепринятых, имеющих целью лишь утвердительную сторону принципа. [c.42]
Первый банальный случай несуществования. Пусть среди всех [/-допустимых измеримых функций (и (t) U при всех t) нет такой, которая обеспечивала бы выполне-ние условий Ft [и ( )]=(), i = l,2,.. ., m, при каком угодно значении FQlu ( )]. В этом случае нет вариационной задачи и говорить не о чем. Эта возможность в теории оптимального управления отвергается, считается (и это соответствует положению дел при решении прикладных задач), что по крайней мере одно допустимое ) управление существует. [c.81]
Естественно возникает вопрос нельзя ли из последовательности траекторий (и( с) ( ), o (f ) ( ) выделить сходящуюся в том илияном смысле подпоследовательность, и предел последней и ( ),, ж ) считать решением вариационной задачи Ответ оказывается разным для и (t) и для фазовой траектории х (t). [c.82]
По теореме Арцела из такой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, и предельный комплекс ( ), / <>, / ,.. ., , ) считать решением вариационной задачи. Однако этим дело не кончается неясен вопрос о необходимых условиях типа принципа максимума для этого решения ведь все выкладки 5 были проведены на некоторой обычной траектории (и(-), ( ) Это очень неприятное обстоятельство прежде всего для тех численных методов, которые основаны на прямом использовании принципа максимума. На первый взгляд оно не очень существенно для большинства приближенных методов решения вариационных задач, которые принципа максимума не используют (точнее, используют его негативную формулировку), а состоят в построении минимизирующей последовательности управлений. Однако это не так, и позже мы дадим более подробные разъяснения по этому поводу (см. стр. 197). [c.85]
Канторова лестница. Выше было отмечено, что любая вариационная задача в классической постановке легко может быть сформулирована как задача оптимального управления. Формально обе задачи оказываются эквивалентными, однако есть между ними и некоторая, так сказать, идеологическая , разница. Пояснить ее лучше всего, вспомнив интересный пример (он поучителен и сам по себе). [c.91]