А.8. СО(У) - монотонно возрастающая гладкая функция, такая, [c.95]
В зависимости от вида используемых критериев оптимальности целевых функций или функционалов) и ограничений модели (множества допустимых решений) различают скалярную О., векторную О., многокритериальную О., стохастическую О. (см. Стохастическое программирование), гладкую и негладкую (см. Гладкая функция), дискретную и непрерывную (см. Дискретность, Непрерывность), выпуклую и вогнутую (см. Выпуклость, вогнутость) и др. Численные методы О., т.е. методы построения алгоритмов нахождения оптимальных значений целевых функций и соответствующих точек области допустимых значений,—развитый отдел современной вычислительной математики. См. Оптимальная задача. [c.247]
Выделяется два типа оптимальных точек внутренний и граничный О. (на рис. 0.9 точка хъ — локальный граничный О., точки А х, — внутренние локальные, а х — внутренний глобальный О.). В первом случае возможно нахождение О. путем дифференцирования функции и приравнивания нулю производной (или частных производных для функции многих переменных). Во втором случае этот метод неприменим (он неприменим также в случае, если функция негладкая) (см. Гладкая функция). [c.249]
Неудобство модульного штрафа состоит в том, что целевая функция расширенной задачи не является гладкой функцией и ее градиент по х не существует при всех х Е D. [c.355]
Ф в правых частях этих определений считается заданной достаточно гладкой функцией своих аргументов. Не претендуя на исчерпывающую полноту, ограничимся пока этими конструкциями. Их, а также гладких функций от функционалов перечисленных типов, достаточно для постановки большинства прикладных задач. В дальнейшем будут использоваться и другие конструкции функционалов. В формулах (12)—(16) фазовая траектория х ( ) связана с управлением краевой задачей (11) и однозначно определяется им. Этим оправдывается обозначение выражений в правых частях определений через F [и ( ) . Фактическое вычисление F [ ( ) требует решения краевой задачи (11), для чего используются соответствующие приближенные методы, ориентированные, как правило, на использование ЭВМ. Выбор того или иного численного алгоритма определяется содержательным характером краевой задачи (И). Особых трудностей при этом не возникает, так как задача оптимизации какого-либо объекта обычно ставится после того, как расчет его функционирования при каком-то фиксированном управлении уже достаточно освоен, и подходящие численные методы разработаны и проверены. [c.26]
Заметим, что размерность г новой управляющей функции связана с и и с размерностью исходного управления г соотношением г =(и+1)(г+1). Теперь можно без существенного ограничения общности изучать экстремальные траектории, считая их порожденными достаточно простыми, например, кусочно гладкими функциями м ( ), aft ( ). [c.88]
Скользящие режимы и прикладные задачи. Выше был рассмотрен характерный пример вариационной задачи, в которой экстремум достигается на скользящем режиме. Речь идет о следующей ситуации строится оптимизирующая последовательность траекторий и рассматривается ее предел. Оказалось, что фазовые компоненты этой последовательности имеют в качестве предела достаточно гладкую функцию. Но соответствующие члены последовательности управлений (или, если угодно, производных фазовых траекторий) естественного предела не имеют. Аналогичные примеры строились и в классическом вариационном исчислении. Например, задача отыскания 1 [c.93]
В монографии Янга специально подчеркивается опасность использования наивного вариационного исчисления (уравнения Эйлера и предположения о том, что решение задачи существует и является достаточно простой, гладкой функцией) В действительности, как мы увидим,. . . метод Эйлера имеет самые серьезные недостатки как в теории, так и на практике ([101], стр. 23). Но не следует забывать, что метод Эйлера самым активным образом используется физиками, механиками и инженерами (как в теории, так и на практике) вот уже около двухсот лет в задачах не специально сконструированных изобретательным математиком, а естественно возникших в приложениях. И не так-то просто в этой огромной практике найти пример, когда бы этот наивный подход привел к серьезной ошибке, причем такой, исправление которой было бы возможно лишь с использованием тонких обобщений, рассматриваемых в [101]. Во всяком случае, в [101] таких примеров нет, хотя эта книга изобилует беллетризованными иллюстрациями теоретических ситуаций, примерами из жизни . Этим примерам самым существенным образом не хватает реальной основы, т. е. настоящей, четко поставленной вариационной задачи, свя] занной с описываемой жизненной ситуацией, причем такой задачи, в которой эйлеров подход привел бы к серьезному просчету, а скрытое решение (это примерно то же самое, что и скользящий режим) давало бы правильный ответ. Без таких задач многочисленные примеры из практики в [101 ] выглядят не очень убедительно. [c.94]
Будем для простоты считать G (х, и) скалярной гладкой функцией. Наиболее простым является случай, когда G (х, и) явно зависит хотя бы от одной компоненты управления, т. е. Gu (х, и)= =0 при всех t [ , Г]. В принципе в этом случае можно на интервале It, t"] выразить из (51) одну из компонент и (t) через х (t) и остальные компоненты и (t) и перейти на [t, f] к системе уравнений с другой правой частью. Вычисление функциональных производных в этом случае достаточно просто (см. 7). Более сложен случай, когда ограничение имеет вид [c.158]
Ошибка аппроксимации, источником которой является замена дифференциальной постановки задачи аппроксимирующей конечно-разностной. Эта ошибка легко может быть уменьшена за счет, например, измельчения шага сетки и, в какой-то мере, за счет использования более точных разностных уравнений. Последняя оговорка г случайна используемая нами аппроксимация функционала f (13) точна в классе кусочно постоянных и (t) и, если оставаться в этом классе, дальнейшее повышение точности аппроксимации невозможно без увеличения числа N интервалов постоянства и если же мы попытаемся использовать в расчетах другой класс функций и (t), дающий более высокую точность аппроксимации гладких функций (а нам известно, что искомое 15 Р. П. Федоренко [c.225]
Характерная трудность решения таких задач состоит в том, что незначительная неопределенность в исходных данных связана с очень большой неопределенностью в решении, и неопределенность эта нетерпима, так как решение представляет собой информацию о реальной действительности. Регуляризация в подобных задачах состоит, грубо говоря, в том, что к условию задачи добавляется еще некоторая качественная информация о решении, например, что решение — достаточно гладкая функция. [c.355]
Роль и место непараметрических методов. Непараметрический подход к оцениванию позволяет ослабить два основных требования классической постановки регрессионной задачи. Первое — предположение о том, что Е (у Х) как функция X представима в виде / (X В), где /(...,...) — известная функция своих аргументов, а В — вектор неизвестных параметров, оцениваемый по выборочным данным, — заменяется на более слабое предположение, что / (X) — непрерывная и гладкая функциях. Второе — требование постоянства а2 (X) — дисперсии случайной погрешности — заменяется на предположение непрерывности а2 (X). [c.321]
Поставы, близкие к максимальному. Округляя выше толщину досок до стандартных размеров, мы несколько отходим от максимума. Но, как известно, гладкая функция вблизи своего максимума изменяется весьма медленно. Поэтому, совершая округления, особенно округления в разные стороны, мы будем получать поставы, весьма близкие по полезному выходу. Можно было, например, округлить толщину крайней доски на 16, а не на 19 мм. Можно было уже первую доску [c.192]
Представим ик в виде суммы какой-нибудь фиксированной гладкой функции gK, принимающей на Э Vu значения (3.62), и функции и к, обращающейся в нуль на Э ик =gK +u K, [c.111]
Найдем вариацию функционала %. Пусть ( ") - стационарная точка fi, а х (1-а, е) — близкие сравниваемые законы движения. Поверхность разрыва у закона движения ( ", б) обозначим через 2С. Как при выводе уравнений Лагранжа в 2 гл. I, удобно ввести отображение V - V % " = = "( , б), при котором поверхность 2 переходит в поверхность 2е. В силу близости 2 и 2е можно написать " = " +5 ", где 5 " - гладкие функции в V. Функции 5 " обращаются в нуль на 8F, поскольку граница области V неподвижна по частицам. [c.181]
Будем считать, что соа и и> - гладкие функции . Наилучшую постоянную R в неравенствах [c.334]
Таким образом, для класса положительных гладких функций S(t) задание интенсивности изменения S(t) однозначно с точностью до выбора начального значения 5(/0) определяет саму величину S(t). [c.357]
Мы вывели соотношение (9.15) в случае непрерывной интенсивности роста S(t), что равносильно непрерывной дифференцируемости S(t) и a(t, f ). Однако это равенство остается справедливым и в более общих случаях, в частности для кусочно-гладких функций S(t). [c.365]
Из (16) также следует слабая аксиома выявленного предпочтения. Неравенство (16) заведомо выполняется, если спрос каждого из потребителей строго монотонен при этом на технологические множества не накладывается особых требований. Интерпретация условия монотонности и ряд связанных с ним результатов приведены в [10]. Для гладких функций избыточного спроса единственность равновесия обеспечивается также условием доминирующей диагонали [5, 15]. Это условие означает, что модуль производной спроса на каждый продукт по цене этого продукта больше суммы модулей всех производных спроса на тот же [c.495]
При низкой степени обучаемости организации как на рыночном, так и на производственном уровнях влияние качества на прибыль ограничивается экономией затрат за счет снижения расходов на исправление дефектов и обслуживание в результате повышения качества. Зависимость прибыли от качества, видимо, будет гладкой функцией без разрывов — в отличие от фирмы, обладающей высокой степенью обучаемости (рис.21.10). [c.367]
Заметим, что функция ги(-) будет иметь достаточно сложный вид. Например, если функции издержек дифференцируемы, то оптимальные пакеты нельзя реализовать в виде линейного контракта w(x) = a + bx точки (же, гие) могут не лежать на одной прямой, кроме того, при строгой выпуклости функций издержек кривые безразличия будут пересекать прямую, проходящую через эти точки даже и в том случае, если они лежат на одной прямой. Более того, как правило, оптимальный контракт не может быть гладкой функцией. [c.617]
Затем были предложены STAR-, или гладкие TAR-модели. Такая модель представляет собой линейную комбинацию нескольких моделей, взятых с коэффициентами, которые являются непрерывными функциями времени. Примером может служить следующее уравнение модели, в котором 0 — гладкая функция, принимающая значения от 0 до 1 [c.56]
ГЛАДКАЯ ФУНКЦИЯ [smooth fun tion] — функция, все частные производные которой до порядка г включительно существуют и непрерывны. Это означает "гладкость" порядка г. [c.62]
При этом 8м (t) — сеточная модель гладкой функции, определяе-, мая произвольной малой сеточной функцией У (t) и уравнением (16), a Ьи" (t) — сеточная модель измеримой функции, определяемая формально никак не связанными между собой значениями Змя+г/, на счетных интервалах (tn, я+1) однако Ьи" отлична от нуля лишь на тех интервалах (tn, tn+J, которые не входят в выделенное множество М. В упомянутой задаче этот прием позволил получить четкий разрыв в и (t) и значение 0= 1,592. Подробнее [c.186]
Наконец, был использован не самый удачный способ размещения точек аппроксимации на множествах М0, Aflt M2, а именно в качестве точек т1, т2, т3 выбирались узлы сетки tn для управления, в которых значения х1 (tn) больше, чем во всех остальных. Тем не менее задачи решались надежно, с хорошей точностью и за вполне разумное машинное время. С учетом накопленного с тех пор опыта можно было бы сократить число итераций. Обсудим целесообразность замены управления u=v, которая, как отмечалось, существенно усложнила форму задачи. Когда автор начинал эту работу, не имея еще опыта решения подобных задач, замена была произведена с тем, чтобы иметь дело с более гладкими функциями Ы( )—Ьх3( ), удовлетворяющими уравнению o 3=ot [c.301]
Алгоритм параболической аппроксимации рассчитан на достаточно гладкие функции / (х). Пусть имеется некоторая точка хй. Положим sx=a 0, s2=x°4-A, sa=x0jr2h и вычислим значения /,=/(, ), =1, 2, 3. н [c.393]
Вычислительные методы предназначены прежде всего для решения задач, возникающих в приложениях. Авторами таких задач являются инженеры, физики, медики и т. д., т. е. специалисты, не искушенные в изобретении хитроумных примеров функций, не имеющих, например, производной нигде, и т. д. Для таких специалистов термины функция и формула (имеется в виду формула не очень сложная) — практически равнозначны. Поэтому, на первый взгляд, от них не следует ожидать задач с недифференцируемыми функциями. Однако это не так. Есть две весьма популярные в приложениях операции, с помощью которых из сколь угодно гладких функций образуются негладкие. Это операции max и . Вычислитель должен быть готов к задачам минимизации функций [c.407]
Сначала рассмотрим абстрактную задачу. Многочисленные бифуркации и скачки возникают во всех задачах о нахождении экстремумов функций нескольких переменных и связанных с ними задач управления и принятия оптимальных решений. В основе современной теории катастроф лежит анализ особенностей гладких отображений Уитни [Whitney, 1955]. Суть подхода Уитни проще всего понять на примере отображения точек плоскости (х, у) на плоскость (и, v). Это отображение задается гладкими функциями и = и(х, у) и v = v (х, у) и имеет особенности в том случае, когда двум или нескольким различным точкам плоскости (х, у) соответствует одна и та же точка (образ) на плоскости (и, v). Таким образом, если преобразование и = и(х, у) и v = v(x, у) сводит в один образ две или несколько точек прообразов, то оно называется преобразованием или отображением с особенностями. Из всех возможных типов особенностей нас будет интересовать два, называемые складками и сборками. Как показал Уитни, именно эти особенности являются устойчивыми, и к ним могут быть приведены все прочие особенности при малых деформациях отображения и = и(х, у) и v = v (х, у). [c.220]
Отображение Уитни лежит в основе большинства приложений теории катастроф. Например, в теории упругости зависимость предельной нагрузки от эксцентричности точки ее приложения имеет аналогичную полукубическую особенность. В.И. Арнольдом [Арнольд, 1990] разработана классификация критических точек гладких функций, которая в точности совпадает с классификацией таких объектов, как группы симметрии правильных многогранников, простых особенностей каустик и волновых фронтов. Известно, что наблюдаемые свойства одних систем часто соответствуют неочевидным свойствам объектов совершенно иной природы. Неудивительно, что после создания методологии теории катастроф были предприняты попытки применить ее к экономической науке. Однако до сих пор удовлетворительной количественной модели эволюции управляемых экономических систем и объектов, насколько нам известно, не существует. Тем не менее и без такого рода спекуляций математические модели катастроф и детально разработанная теория бифуркации указывают на некоторые общие черты, сопровождающие скачкообразные изменения установившихся режимов. [c.223]
Докажем эквивалентность принципов Гиббса в случае систем с конечным числом степеней свободы (и,. .... ип " Будем предполагать, что 1) переменные изменяются в и -мерном пространстве Я 2>< >(") и 1/. (и) - гладкие функции 3) состояние [c.26]
Мы предполагаем, что и - гладкая функция, и, в частности, определены производные (3.51). Это предположение делает почти тривиальным доказательство совпадения верхней грани L(p) -E (p) и нижней граки Е(и) полное доказательство требует более тонкой техники. [c.106]
Линейные колебания. Принцип Рэлея. При А- -0 амплитуда колебаний стремится к нулю. Если Un К — гладкие функции и К обращается в нуль при и"( = 0, то для бесконечно малых амплитуд U можно заменить квадратичнрй формой по ик, и",-, а К — квадратичной формой по g 2К -= ркк ид tig (линейные члены отсутствуют в силу положительности U и К). Легко проверить, что стационарные точки имеют вид ик = VK (х) os в или ик = VK(X) sin в. После интегрирования по в вариационный принцип (3.3), (3.5) - (3.7) переходит в вариационный принцип Рэлея формы собственных колебаний являются стационарными точками функционала внутренней энергии ) [c.188]
Пусть теперь t = 0. Ясно, что с этим ограничением (при гладкой функции полезности) налоги не могут быть оптимальными, поскольку не являются униформными. Этот факт иллюстрирует Рис. 82. [c.335]