Достаточное условие выпуклости графика функции. Если на интервале (а Ь) дважды дифференцируемая функция >>=Дх), x e (а, Ь) имеет отрицательную (положительную) вторую производную, то график функции является выпуклым вверх (вниз). [c.66]
Достаточное условие существования точки перегиба. Если функция у = Д. ), х е (а Ь) дважды дифференцируема на интервале (а Ь) и при переходе через х0 е (а, Ь) вторая производная / ( ) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = х0 является точкой перегиба. [c.68]
Пусть функция y = f(x) определена и дважды дифференцируема на интервале ]а, Ь[. Тогда [c.131]
Математически формулируется достаточное условие выпуклости графика непрерывной функции y=f(x), определенной на интервале (а, Ъ) (которая в этом случае предполагается дважды дифференцируемой функцией) если она имеет отрицательную вторую производную, то ее график является выпуклым вверх, если положительную — выпуклым вниз. Точка графика непрерывной функции, при переходе через которую график меняет направление выпуклости (напр., был выпуклым вверх, стал — вниз), называется точкой перегиба. [c.58]
Операция нахождения П. называется дифференцированием функции. Функция, имеющая производную в точке х0, называется дифференцируемой в этой точке, причем она обязательно непрерывна в этой точке. (См. Непрерывная функция.) Функция, имеющая непрерывную производную в каждой точке некоторого интервала, называется непрерывно дифференцируемой на этом интервале (промежутке). [c.286]
Пусть ф S — > R — вещественная функция, заданная и дифференцируемая на открытом интервале S С Ип. Если Оф(с) = 0 для всех с , то ф постоянна на S. [c.134]
Теорема Лагранжа. Если функция непрерывна на отрезке [а, 6] и дифференцируема в интервале (а, 6), то существует такая точка с Е (а, Ь], что [c.128]
Теорема Коши. Если у — /(ж) и у — (р х) — две функции непрерывные на отрезке [а, Ь] и дифференцируемые в интервале (а, 6), причем ( > (х) ф 0 для любого х G (а, 6), то между а [c.130]
Функция, имеющая производную в каждой точке интервала (в ), называется дифференцируемой на этом интервале при этом производную /(х) можно рассматривать как функцию на (а Ь). Необходимое условие существования производной вытекает из следующего утверждения. [c.52]
Необходимое условие возрастания функции. Если дифференцируемая функция y=f(x), j е (a b), возрастает на интервале (а Ь), то f(x0) > 0 для любого х0 е (а Ъ). [c.60]
Необходимое условие убывания функции. Если дифференцируемая функция у=Ах), х е (а Ь), убывает на интервале (а Ь), то f(xj<0 для любого х0 е (а Ь). [c.60]
График дифференцируемой функции y = f(x ) направлен выпуклостью вверх (выпуклостью вниз) на интервале ]а, Ь[, если в пределах этого интервала он расположен ниже (выше) касательной, проведенной в любой его точке (рис. 5.8). [c.131]
Теорема 1. Пусть функции х = ж( ), у = y(t) непрерывны на [см, /3], дифференцируемы в (а, / ), причем x (t] сохраняет постоянный знак на этом интервале. Пусть далее [а, 6] — область значений функции ж = ж( ). Тогда уравнения ж = ж( ), у = y(t] определяют непрерывную на [а, Ь] и дифференцируемую б (а, 6) функцию у — у (ж), причем [c.125]
На практике часто встречается ситуация, когда априорно известен нелинейный характер зависимости между объясняемыми и объясняющими переменными. В этом случае функция/в уравнении y=f(a,x) нелинейна (а - вектор параметров функции, которые нам нужно оценить). Например, вид зависимости между ценой и количеством товара в той же модели спроса и предложения она не всегда предполагается линейной, как в нашем примере. Нелинейную функцию можно преобразовать в линейную, как это было сделано, например, логарифмированием с функцией Кобба-Дугласа. Однако не все функции поддаются такой непосредственной линеаризации. Любую дифференцируемую нужное число раз функцию можно разложить в функциональный ряд и затем оценить регрессию объясняемой переменной с членами этого ряда. Тем не менее такое разложение всегда осуществляется в окрестности определенной точки, и лишь в этой окрестности достаточно точно аппроксимирует оцениваемую функцию. В то же время оценить зависимость требуется обычно на более или менее значительном интервале, а не только в окрестности некоторой точки. При линеаризации функции или разложении её в ряд с целью оценки регрессии возникают и другие проблемы искажение отклонений е и нарушение их первоначальных свойств, статистическая зависимость членов ряда между собой. Например, если оценивается формула [c.359]
Теорема Ролля. Если функция y — f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема на интервале ]а, Ь[ и если f(a)=f(b), то на иптервале ]а, Ь[ найдется хотя бы одна точка с такая, что f (с) — 0. [c.123]
Поскольку все функции с положительным арифметическим математическим ожиданием пересекают ось х дважды (в качестве оси х выступает ось f), при / = 0 и в той точке справа, где / дает такие расчетные HPR, что их дисперсия превосходит среднее арифметическое HPR минус один. Эти две точки будут определять наш интервал [а, Ь] на оси х. Далее, первая производная фундаментального уравнения торговли (т. е. оценочного TWR) будет непрерывна при всех/внутри данного интервала, поскольку /дает такие значения AHPR и дисперсии HPR внутри интервала, которые дифференцируемы на нем. Следовательно, оценочное TWR как функция от/непрерывна внутри интервала. Значит, согласно теореме Ролля, на этом интервале должен быть по [c.61]