Если X — невырожденная квадратная матрица порядка гг, то дифференциал матричной функции [c.238]
Если У — вещественная матрица размера га х га, то через Y мы обозначаем присоединенную к Y т х т матрицу. Если задана матричная функция F размера т х га, определим матричную функцию F размера т х т как F (X) = (F(X)) . Цель этого параграфа — найти дифференциал F . Докажем сначала теорему 6. [c.205]
Теперь рассмотрим, как с помощью (1) можно найти дифференциалы и матрицы Якоби определителя некоторых простых матричных функций от X. Начнем с функции ХХ7 , где матрица X не обязана быть квадратной, но должна иметь полный ранг, совпадающий с количеством ее строк. Это нужно для того, чтобы определитель XX был ненулевым (следовательно, положительным). Тогда дифференциал этой функции равен [c.233]
В этой главе рассматриваются понятия вторых производных, дважды диф-ференцируемости и второго дифференциала. Особое внимание уделяется связи между дважды дифференцируемостью и аппроксимацией второго порядка. Мы определяем матрицу Гессе (для векторных функций) и находим условия для ее (столбцовой) симметрии. Мы также получаем цепное правило для матриц Гессе и его аналог для вторых дифференциалов. Доказывается теорема Тейлора для вещественных функций. Наконец, очень кратко обсуждаются дифференциалы высших порядков и показывается, как анализ векторных функций можно распространить на матричные функции. [c.140]
Если матричная функция F S -> Rmxm(ra 2), S С Rnx<7 (непрерывно) дифференцируема k раз в точке XQ 5, причем F(XQ) — не вырождена, то матрица F S — > Rmxm также /с раз (непрерывно) дифференцируема в XQ и ее дифференциал в этой точке равен [c.206]
Найти дифференциал и матрицу Якоби матричной функции F(X, Y) = X О Y (произведение Адамара). [c.242]
Изложение матричного дифференциального исчисления в данной книге основано на понятии дифференциала, что отличает ее от других книг по этой тематике. По нашему мнению, подход, основанный на дифференциалах, имеет целый ряд преимуществ. Главное из них мы видим в том, что он больше подходит для функций нескольких переменных в том виде, в каком они возникают в эконометрике, математической статистике или психометрике, чем подход, использующий производные, хотя с теоретической точки зрения оба подхода эквивалентны. В том случае, когда возникает потребность в производных, мы выводим их из дифференциалов. [c.15]