Решение единственно, если функция Лагранжа L выпукла вниз по //, т.е. если [c.105]
Для большинства реальных законов массопереноса задача (5.70), (5.71) выпукла вниз по у, и ее решение соответствует условию стационарности функции Лагранжа [c.192]
На рис. 9.12 показан вид / (С). Эта функция выпукла, и расширение Лагранжа в данном случае было бы эквивалентно при конечном А. Расширение с использованием функции штрафа (9.114) окажется эквивалентным лишь в пределе при a — > ос. Действительно, вычислим [c.352]
Таким образом, расширение Лагранжа эквивалентно задаче НП тогда и только тогда, когда этой задаче эквивалентно усредненное расширение НП, т.е. когда функция достижимости f ( ) совпадает со своей выпуклой оболочкой при С = 0. [c.372]
Теорема Лагранжа (теорема 10) устанавливает необходимые условия локального (а значит, и абсолютного) условного экстремума. В теореме 11 были получены достаточные условия локального условного минимума. Чтобы найти достаточные условия абсолютного условного минимума, поступим так же, как в случае безусловного минимума ( 9), добавив дополнительные ограничения типа выпуклости (вогнутости). [c.189]
Пусть вещественная функция ф S —> R определена и дифференцируема на выпуклом множестве S С Rn, a g S —> ]R,m(m < n) — векторная функция, определенная и дифференцируемая на S. Пусть с — точка 5, а / — вектор из Rm. Определим функцию Лагранжа ф S —> R как [c.189]
Замечание. Для доказательства (строгой) выпуклости (вогнутости) функции Лагранжа ф можно воспользоваться определением из 4.9, теоремами 5 или 6, а также (если ф дважды дифференцируема) теоремой 7. Заметим, кроме того, что [c.190]
А = W(X V lX) lX V l. (11) Так как функция Лагранжа строго выпукла, то [c.328]
В качестве критерия деления на группы выберем условие, что в группу А попадут все позиции номенклатуры, показатели которых С больше или равны среднему значению показателя для всей выборки С. Согласно теореме Лагранжа, на выпуклой кривой f(x) существует одна точка А, касательная в которой параллельна хорде, в нашем случае — линии, соединяющей начало координат (0 0) и точку с координатами (1 1). Для определения абсциссы точки А воспользуемся формулой [c.101]
В задачах механики функция Лагранжа L (t, q, q) строго выпукла по q, однако не является выпуклой по совокупности переменных q, q (например, для гармонического осциллятора L = Yi mq2 — kq2). В силу выпуклости по q для L можно написать [c.113]
Множитель Лагранжа X неотрицателен при Х<0 функционал (3.8) является строго выпуклым и имеет единственную стационарную точку ик = 0. Поэтому каждая стационарная точка вариационной задачи (3.3), (3.5) — (3.7)v является стационарной точкой исходной задачи с w2 = X. [c.188]
Если (D> /) является задачей выпуклого программирования с решением х, ее целевая функция f(x) и функции ограничений g x) — дифференцируемы, нелинейные ограничения в форме неравенств удовлетворяют условию регулярности Слейтера, то существует такой вектор и > 0, что (х,и) — седловая точка функции Лагранжа Ф(х,и). [c.105]
Покажем, что х — равновесие потребителей при р, d, т.е. решение задачи (9) при этих ценах и доходах. Бюджетное ограничение (12) выполнено. Взяв Vi = 1/Aj (используем AJ > 0, (30)), заметим, что при ценах р = а множители Лагранжа / и точка оптимума Xi удовлетворяют соотношениям (10). Следовательно при выполнении предположения (ГРАД) для точки х выполнены необходимые условия первого порядка. При условиях (ВЫПУКЛ), (ГРАД) необходимые условия являются и достаточными условия экстремума, итак Xi e Xi(p,di) (i e /). [c.20]
Таким образом, дифференциальные характеристики оптимума и равновесия совпадают, что позволяет подобрать оценки Л, //, а Лагранжиана (49) такие, что в точке (х, у) Лагранжиан достигает безусловного экстремума, то есть выполнено необходимое условие условного экстремума задачи (52). Благодаря выпуклости этой задачи необходимое условие совпадает с достаточным, таким образом равновесие (х, у) является также решением задачи (52), что и требовалось для Парето-оптимальности. [c.34]
КУНА—ТАККЕРА УСЛОВИЯ [Kuhn—Tu ker onditions] — условия существования оптимальной точки (оптимального решения) в задачах выпуклого программирования и, в частности, — линейного программирования. Соответственно этим условиям для того чтобы точка х была оптимальной, необходимо и достаточно, чтобы пара точек (х, X ) образовала седло функции Лагранжа (см. Лагранжиан, Седловая точка). Таким образом, задача сводится к нахождению совместного решения прямой (поиск ж ) и двойственной (поиск X ) задач. Сформулированы американскими математиками X. Куном и А. Таккером. [c.165]
МНОЖИТЕЛИ ЛАГРАНЖА [Lagrange multipliers] — дополнительные множители, преобразующие целевую функцию экстремальной задачи выпуклого программирования (в частности, линейного программирования) при ее решении одним из классических методов — методом разрешающих множителей (методом Л агранжа). Полученная функция носит название лагранжиан, или функция Лагранжа. Подробнее об этом методе см. в ст. "Лагранжиан". [c.202]
Функция Лагранжа для этой задачи с условиями (5.19), как легко показать, выпукла вниз по д , 02 и достигает минимума в единственной точке. Это значит, что оптимальные значения потоков 0 и 02 постоянны и определяются выражениями (5.19). Однако законы перемещения поршней, естественно, отличаются от тех, которые соответствуют соотношениям Онзагера (5.27). [c.174]
Для того чтобы решение было единственным, достаточно выпуклости функции Лагранжа R исходной неусредненной задачи по вектору Р. Вследствие сепарабельной структуры этой функции условия постоянства оптимального вектора цен, а, следовательно, потоков д и д2 (условия нецелесообразности складов) принимают форму неравенств [c.287]
В том случае, когда любое из сечений /о (0, i) или /о (0, j) невыпукло в нуле, т.е. когда выпуклая оболочка этой функции на V имеет для С = 0 ординату, большую ординаты самой функции, расширение Лагранжа задачи НП не эквивалентно. Выпуклость в нуле даже всех сечений функции достижимости (рис. 9.20) координатными плоскостями, естественно, не гарантирует эквивалентности расширения Лагранжа, так как [c.372]
Х< А справедливо неравенство d2f/dx2>0. Рассмотрим минимум строго выпуклой функции f(A i) + f(A 2) + f(A 3) при ограничении A i + А2 + + Аз - onst = с. Вводя множитель Лагранжа, убеждаемся, что минимум достигается npn li =A2 =А3. Следовательно, в точке минимума [c.248]
Критическая точка (x.0(Q,x,0(Q,A,°(Q) функции Лагранжа, удовлетворяющая системе (12) и взятая без последней координаты (множителя Лагранжа) X°(Q, т.е. точка (xta(Q,x2u( )), и есть решение задачи (7), ( 1 1 ) максимизации выпуска при данных фиксированных издержках производства С. Подставив точку (х,°(С),(.х20(С)Л0(О) в первые два уравнения системы (12), получим два тождества. Поделив почленно первое тождество на второе, получим, очевидно, выражение (3) (множитель Лагранжа Х°( С) сократится). Получили аналитическое обоснование того, что в точке (х,°(С),х20(С)) изокванта и изокоста касаются (см. рис. 1 1.6). Вообще говоря, критическая точка функции Лагранжа, взятая без последней координаты, не обязана быть решением задачи (7), (1 1) на условный максимум. В случае же производственной функции Л, ,, ), удовлетворяющей определенным требованиям гладкости и выпуклости, критическая точка функции Лагранжа (без последней координаты) есть решение задачи (7), (11) на условный экстремум. Отметим также, что в случае производственной функции Л, , ) х,°(С)>0, x2°( )>0, Х°(С)>0. [c.189]
Общая задача нелинейного программирования. Локальный и глобальный оптимум. Выпуклые функции, дифференцируемость по направлению. Понятие субградиента и субдифференциала. Задача выпуклого программирования. Функция Лагранжа. Сопоставление с классической задачей условной оптимизации. Дифференциальная форма признака оптимальности. Седловые точки. Теорема Куна-Такера. [c.48]
Доказательство этого предложения можно найти в книге Печерский/Соболев (1983). При доказательстве используется метод множителей Лагранжа, строгая выпуклость функции Q и проверяется выполнение всех аксиом Шепли. В частности, аксиома болвана однозначно определяет коэффициенты (s — l) (n — s — 1)1. [c.189]