Обозначим через 1л(8] наибольшее по абсолютной величине собственное значение симметрической матрицы S. Тогда для любой неотрицательно определенной матрицы V порядка п и т х п матрицы А имеем [c.302]
Если матрица (10.12) является положительно определенной, т. е. имеет только положительные собственные значения, то модель (10.2) лучше оценивает параметр р, даже если на самом деле верна модель (10.1). [c.246]
Доказательство. Поскольку А А есть вещественная симметрическая (и, более того, неотрицательно определенная) матрица порядка т и в силу (7.3) имеющая ранг г, то все ее ненулевые собственные значения положительны (теорема 8). По теореме 13 существует ортогональная матрица (S 5 ) порядка га, такая что [c.41]
Понятие о положительно (неотрицательно) определенных матрицах было введено в 6. Мы уже видели, что матрицы АА и А А — неотрицательно определенные, и по теореме 8 собственные значения положительно (неотрицательно) определенной матрицы положительны (неотрицательны). Представим еще ряд свойств положительно (неотрицательно) определенных матриц. [c.45]
Если В = О, то А + В = А. Если В ф О, то матрица Л"1/25 /Б5 Л"1/2 будет неотрицательно определенной с хотя бы одним положительным собственным значением. Следовательно, / + Л 1/25 /Б5 Л 1/2 > 1 и А + В > А. П [c.46]
У теоремы 1 есть несколько важных следствий. Во-первых, если А и В — положительно (неотрицательно) определенные матрицы, то матрица А В также положительно (неотрицательно) определена. Далее, поскольку определитель матрицы равен произведению ее собственных значений, то [c.56]
Для любой положительно определенной п х п матрицы А с собственными значениями AI А2 . . . Ап [c.271]
Доказательство. Если либо Л, либо В вырождены, результат очевиден. Поэтому предположим, что обе матрицы Аи В положительно определены. Применяя упр. 2 из 21 к собственным значениям AI, . . . , Хп положительно определенной матрицы В 1/2АВ 1/2, получим [c.283]
Пусть А есть положительно определенная матрица порядка п с собственными значениями 0 < AI А2 . . . Ап. Показать, что матрица [c.303]
Неравенство Канторовича) Пусть А есть положительно определенная матрица порядка п с собственными значениями 0 < AI А2 . . . Ап. Используя предыдущее упражнение, доказать, что [c.303]
Рассмотрим линейную регрессионную модель (у, Х/3, o 2V), где V — неотрицательно определенная п х п матрица с собственными значениями AI А2 . . . Ап, а X — неслучайная п х k матрица ранга k. Пусть <т2 есть МНК-оценка а2, т.е. [c.375]
Дайте краткие определения следующим понятиям собственное значение, нагрузки факторов, матрица факторных нагрузок и значение фактора. [c.742]
Поясним включение PD в Р и RS и S в Р0. В силу полноты этих классов достаточно установить, что М е PD => det (М) > 0 и М е RS( S) => det (M) > 0. Пусть, от противного, М е PD и det (М) < 0. Поскольку определитель произвольной матрицы равен произведению ее собственных значений, среди последних найдется А < 0 — вещественное и неположительное. Для соответствующего собственного вектора ж(А) 0 верно ж(А)тМж(А) = А ж(А) 2 < 0, что противоречит положительной определенности М. [c.11]
Матрица А положительно определенная тогда и только тогда, когда все ее собственные значения положительны. (4.70) [c.110]
Определение 1.3. Максимальное по модулю собственное значение неотрицательной матрицы А называется числом Фробениуса матрицы А, а соответствующий ему неотрицательный собственный вектор — вектором Фробениуса для А. [c.265]
В настоящей главе изучаются некоторые оптимизационные проблемы, которые встречаются в психометрике. Большинство этих задач связано со структурой собственных векторов и собственных значений ковариационной матрицы. Теоремы, встречающиеся в данной главе, можно разделить на четыре категории. Параграфы 2-7 имеют дело с методом главных компонент. Здесь применяется линейное ортогональное преобразование к р случайным величинам х, . . . , хр так, чтобы в результате получились новые переменные vi,. . . , vp, некоррелированные между собой. Первая главная компонента vi и есть нормированная линейная комбинация переменных из ж с максимальной дисперсией, вторая главная компонента v — нормированная линейная комбинация, имеющая максимальную дисперсию из комбинаций некоррелированных с v и т. д. Можно надеяться, что первые несколько компонент вносят основной вклад в разброс переменных х. На метод главных компонент можно взглянуть и по-другому предположим, что известна ковариационная матрица ж, скажем 7, и попытаемся приблизить ее другой неотрицательно определенной матрицей меньшего ранга. Если же 1 не известна, то воспользуемся оценкой S для Л, построенной по выборке из ж, и будем приближать S. [c.442]
Пусть XQ — вещественная симметрическая матрица порядка п. Пусть UQ — нормированный собственный вектор, соответствующий ее простому собственному значению AQ. Тогда существуют вещественная функция А и векторная функция и, определенные для всех X из некоторой окрестности N(XQ) С Rnxn матрицы XQ, такие что [c.209]
Пусть АО — простое собственное значение (возможно, комплексное) матрицы ZQ G Спхп (множество комплексных матриц размера п х п), и пусть UQ — соответствующий ему собственный вектор, т.е. ZQUQ = XQUQ. Тогда существуют комплексная функция А и (комплексная) векторная функция и, определенные [c.212]
Пусть AI, А2,. . . , Ап — собственные значения матрицы ZQ G Спхп и А — простое собственное значение. Тогда существует скалярная функция Л ), определенная в окрестности N(ZQ) С Спхп матрицы Z0, такая что X (ZQ) = i и A(i)(Z) — (простое) собственное значение Z для всех Z N(ZQ). Кроме того, А( ) дифференцируема бесконечное число раз на N(ZQ), и [c.215]
Пусть А = ( tij) есть положительно определенная п х п матрица с собственными значениями AI . . . An, a [c.271]
Доказательство. Пусть X есть произвольная неотрицательно определенная пхп матрица, удовлетворяющая условию tr Xq = 1. Пусть S есть ортогональная матрица, такая что SfXS = Л, где Л диагональная и имеет собственные значения X как диагональные элементы. Определим В = (bij = S AS. Тогда [c.280]
Рассмотрим линейную регрессионную модель (у, Х/3, r2V), где V — неотрицательно определенная п х п матрица с собственными значениями AI А2 . .. Ап, а X — неслучайная п х k матрица ранга k. Предположим, что X содержит столбец г = (1,1,..., 1). Пусть А = 1п — (1/п)гг/, а 0 = AI Х% . . . А являются собственными значениями матрицы AV А. Кроме того, пусть а2 является МНК-оценкой, т. е. [c.376]
Итак, положительно определенная матрица невырождена, имеет >ложительные собственные значения и положительный определи-ль. Отсюда также следует, что все главные миноры положительно [c.110]