Хотя собственные значения в общем случае являются комплексными, собственные значения вещественной симметрической матрицы всегда вещественные. [c.35]
Вещественная симметрическая матрица имеет только вещественные собственные значения. [c.35]
Доказательство. Пусть Л есть собственное значение вещественной симметрической матрицы Л, а х = и + iv — соответствующий собственный вектор. Тогда [c.35]
Симметрическая матрица положительно определена (неотрицательно определена) в том и только том случае, когда все ее собственные значения положительны (неотрицательны). [c.36]
Пусть А — вещественная симметрическая матрица порядка п. Тогда существуют ортогональная матрица S порядка п (т.е. Sf S = /п), столбцы которой являются собственными векторами Л, и диагональная матрица Л, диагональные элементы которой являются собственными значениями Л, такие что [c.38]
Пусть А — вещественная симметрическая матрица порядка п с собственными значениями AI J А2 J. . . Ап. Используя теорему 13, доказать, что для х ф О [c.39]
Вещественная симметрическая матрица является диагональной тогда и только тогда, когда ее собственные значения и диагональные элементы совпадают. [c.50]
Пусть А — симметрическая матрица порядка п (п 2) ранга г (А) = п — 1. Пусть и — собственный вектор Л, соответствующий (простому) нулевому собственному значению, т. е. Аи = 0. Тогда [c.74]
Итак, пусть XQ — вещественная симметрическая матрица порядка n, a UQ — (нормированный) собственный вектор, соответствующий собственному значению АО, так что тройка (Xg, UQ, АО) удовлетворяет условиям [c.208]
Одно из применений дифференциала собственного вектора du — вывод второго дифференциала собственного значения, d2A. Рассмотрим вначале случай, когда XQ — вещественная симметрическая матрица. [c.218]
Показать, что если АО — наибольшее собственное значение XQ, то d A 0. Найти связь с тем фактом, что наибольшее собственное значение выпукло в пространстве действительных симметрических матриц (ср. с теоремой 11.5). [c.219]
Пусть Sn — множество симметрических матриц порядка п, собственные значения которых по модулю меньше 1. Показать, что для произвольной матрицы X Sn [c.222]
Пусть XQ — вещественная симметрическая матрица порядка n, a UQ — нормированный собственный вектор, соответствующий простому собственному значению АО матрицы XQ. Тогда, как известно из 8.8, для каждой матрицы X из окрестности N(XQ] матрицы XQ существуют и единственны число А = А(Х) и вектор и = и(Х), такие что [c.235]
Наконец, если АО есть простое собственное значение вещественной симметрической матрицы XQ порядка n, a UQ — соответствующий собственный вектор, то существует дважды дифференцируемая собственная функция Л такая, что X(XQ) = АО (см. теорему 8.7). Дифференциал второго порядка в точке XQ находится по теореме 8.10, а именно [c.250]
В следующих параграфах мы будем исследовать неравенства, касающиеся собственных значений вещественных симметрических матриц. Будем считать, что собственные значения AI, A2,. . . , Ап вещественной симметрической матрицы [c.260]
Обозначим через 1л(8] наибольшее по абсолютной величине собственное значение симметрической матрицы S. Тогда для любой неотрицательно определенной матрицы V порядка п и т х п матрицы А имеем [c.302]
Матрица М является идемпотентной симметрической п х п матрицей ранга п — k. Обозначим все ненулевые собственные значения матрицы MV М как [c.376]
В специальном случае симметрической матрицы, когда а12 = аи собственными значениями будут величины [c.106]
Симметрическая матрица А порядка п имеет собственные значения Аь Я2,. .., Хп, не обязательно различные между собой. Этим значениям соответствует система ортогональных собственных векторов х1( х2,. .., х , таких, что [c.107]
Собственные векторы симметрической матрицы, принадлежащие различным собстве зн н ым значениям, ортогональны.. [c.68]
Доказательство. Поскольку А А есть вещественная симметрическая (и, более того, неотрицательно определенная) матрица порядка т и в силу (7.3) имеющая ранг г, то все ее ненулевые собственные значения положительны (теорема 8). По теореме 13 существует ортогональная матрица (S 5 ) порядка га, такая что [c.41]
Если матрица А — симметрическая с г ненулевыми собственными значениями, [c.43]
Отметим, что в теореме 21 матрица А не обязательно симметрическая. Если А — идемпотентная и симметрическая, тогда она неотрицательно определена. Поскольку ее собственные значения равны 0 либо 1, то, по теореме 13, матрица А может быть записана как [c.44]
Матрица А не симметрическая, и ее собственные значения равны 1 г б. Поскольку оба собственных значения комплексны, то должны быть комплексны и соответствующие собственные векторы. Нетрудно показать, что их можно выбрать в виде [c.207]
Мы знаем, однако (из теоремы 1.4), что если А — симметрическая вещественная матрица, то ее собственные значения вещественные и собственные векторы также можно выбрать вещественными. Поскольку работать с таким случаем несколько удобнее, он и рассматривается вначале. [c.208]
Матрица А — симметрическая при любых значениях е и д. Ее собственные значения равны AI = 1+ /(б2 + S2) и А2 = 1 — /(е2 + S2). Обе функции, задающие собственные значения, непрерывны по е и , но, очевидно, не дифференцируемы в (0,0) (строго говоря, следовало бы еще доказать, что AI и А2 — единственные непрерывные функции, задающие собственные значения). Коническая поверхность, описывающая собственные значения А (б, 6) в пространстве (б, ), имеет особую точку при е = S = 0 (рис. 1). Однако для фиксированного отношения е/S можно пройти с одной половины конической поверхности на [c.208]
Пусть А есть вещественная симметрическая п х п матрица с собственными значениями AI А2 . . . Ап. Пусть S = (si, 2,. . . , sn) есть ортогональная п х п матрица, которая приводит А к диагональному виду, так что [c.263]
Пусть А есть вещественная симметрическая п х п матрица с собственными значениями AI А 2 . . . Лп. Пусть 1 k п. Тогда [c.264]
Пусть А есть вещественная симметрическая п х п матрица с собственными значениями AI А 2 . . . Лп. Тогда А/ (I k п) может быть определено как [c.265]
Пусть А есть вещественная симметрическая п х п матрица с собственными значениями AI А2 . .. An, a M есть идемпотентная симметрическая п х п матрица ранга k (I k п). Тогда, обозначая собственные значения п х п матрицы МЛМ, отличные от п — k нулей, через / i / 2 . . М/с, имеем [c.268]
Пусть А есть вещественная симметрическая п х п матрица с собственными значениями AI Х<2 . .. Лп, а В есть вещественная симметрическая (п + 1) х (п + 1) матрица [c.269]
Для любой вещественной симметрической п х п матрицы А с собственными значениями AI А2 . . . Ап, [c.269]
Пусть Л = (dij) есть вещественная симметрическая п х п матрица с собственными значениями AI, А2,. . . , Ап. Тогда для любой выпуклой функции ф [c.276]
Пусть XQ — вещественная симметрическая матрица порядка п. Пусть UQ — нормированный собственный вектор, соответствующий ее простому собственному значению AQ. Тогда существуют вещественная функция А и векторная функция и, определенные для всех X из некоторой окрестности N(XQ) С Rnxn матрицы XQ, такие что [c.209]
Замечание. Для k = 1 теорема 10 сводится к теореме 4. Для k = п мы получаем известный результат, что симметрические матрицы А и G1AG имеют один и тот же набор собственных значений, если G ортогональна (см. теорему 1.5). [c.267]
Проблема отыскания собственных значений и собственных векторов матриц составляет основу специального раздела алгебры далее мы еще вернемся к этому вопросу. Здесь лишь отметим один важный резу ч ьтат алгебры матриц- для симметрических матриц (1 2.3) все и соб ственных значений являются деиствнге [ьными числами. [c.26]
Обратите внимание на то, что х хг = 0, т. е. собственные векторы симметрической матрицы ортогональны1. [c.107]
Вообще мы будем иметь дело лишь с действительными симметрическими матрицами. Эти два свойства — существование действительных корней и ортогональность собственных векторов — имеют место и в общем случае действительной симметрической матрицы 2 порядка п. Более того, если характеристический корень Я имеет кратность k (т. е. повторяется k раз), то имеется k соответствующих ему ортогональных собственных векторов3. [c.107]
Пусть А есть вещественная симметрическая п х п матрица с собственными значениями AI А2 . .. An, a G есть полуортогональная п х k матрица (1 k п), такая, что G G = Ik- Тогда собственные значения Mi М2 М/с матрицы G1AG удовлетворяют соотношению [c.267]
Так как А А симметрическая, ее можно диагонализовать. Следовательно, если IJLI, / 2, , Mr — собственные значения А А, то существует ортогональная г х г матрица , такая что [c.446]
Матрица М, являясь вещественной, симметрической и положительно полуопределенной, имеет П вещественных неотрицательных собственных чисел, [c.15]
В силу предположений, принятых в линейной модели, матрица Х Х) имеет порядок k x k, она симметрическая и положительно оп->еделенная. Следовательно, у нее k положительных собственных зна- ений Ях,. .., Яй. Пусть V = [Vj v2. .. vft] — -матрица, образованная юбственными векторами, где уг обозначает вектор-столбец, соответ-твующий собственному значению Kt, так что [c.166]