В этом случае решение, как правило, оказывается в точке стационарности функции Лагранжа задачи (5.47), (5.53). [c.186]
Функция Лагранжа задачи (7.118)-(7.120) [c.272]
Функция Лагранжа задачи (7.157), (7.158) имеет вид [c.281]
Функция (9.97) совпадает с функцией Лагранжа. Задача (9.82) примет вид [c.342]
Связь задачи НП с расширением Лагранжа задачи НП. За- [c.370]
Условия (9.233) следуют из того, что при любом векторе А максимальные значения функционала Лагранжа задачи (9.234), (9.235), стоящие в квадратных скобках в (9.233), не меньше, чем максимум /о на множестве допустимых решений, выделяемом условиями (9.235). Для А = А эти значения одинаковы. [c.392]
Сформулируем задачу, двойственную задаче (7.3) — (7.4). Функция Лагранжа задачи имеет вид [c.114]
Функция L(X X) получила название функции Лагранжа (или лагранжиана) задачи (3), а коэффициент X — множителя Лагранжа. [c.258]
Рассмотрим сначала, Парето-оптимальное состояние экономики (ж, у, а), такое что хг е int(JQ, а <Е mt(A . Предположим, что существует благо k0, удовлетворяющее условиям, аналогичным условиям ( ). Дифференцируя функции Лагранжа задач, характеризующих это состояние, [c.372]
Сформулированные условия (4.15) могут быть перенесены па любое число переменных и ограничений. При этом число множителей Лагранжа равно числу ограничений модели. Пусть поставлена следующая задача [c.47]
Пусть в х система (4.17) разрешима относительно части переменных. Необходимым условием того, что х является решением поставленной задачи, является существование вектора и = = (v, . .., vm)такого, что функция Лагранжа [c.48]
В последние несколько десятилетий основные идеи метода множителей Лагранжа удалось перенести и на задачи с ограничениями типа неравенств, которые, как мы увидим в дальнейшем, более естественны для экономико-математических моделей. Сформулируем необходимое условие максимума функции U(x), где х е= Еп, при наличии ограничений [c.48]
Тогда (при выполнении некоторых условий) точка х будет решением поставленной задачи только в том случае, если найдется вектор v = (У ,. .., vm) такой, что функция Лагранжа [c.48]
Используем метод множителей Лагранжа для решения чрезвычайно простой линейной задачи оптимизации [c.49]
Как видно, описанный здесь метод решения, основанный на полном переборе вершин, является значительно более простым л эффективным, нежели непосредственное использование метода множителей Лагранжа. В то же время не следует считать, что решение задач линейного программирования является простым делом, состоящим просто в полном переборе вершин множества допустимых значений переменных. Для того чтобы понять это, достаточно заметить, что вершина множества допустимых точек (в том случае, когда это множество имеет внутренние точки) в задаче (4.22) — (4.24) связана с обращением в равенства п ограничений из их совокупности (4.23), (4.24). Таким образом, вообще говоря, число вершин множества (4.23), (4.24) может равняться числу различных сочетаний по п ограничений из общего числа т + п. Число различных сочетания [c.51]
Можно доказать и более общее утверждение о свойствах двойственных переменных. При описании метода множителей Лагранжа для задач с ограничениями типа равенств мы показали, что множитель Лагранжа равен производной критерия по правой части равенства. Этим же свойством множители Лагранжа обладают и в задачах линейного программирования [c.56]
Если и(у) >0 только при у > 0, то для решения задачи у имеем у > 0 и модель можно проанализировать при помощи описанного в 4 гл. 1 метода неопределенных множителей Лагранжа. Выпишем функцию Лагранжа для задачи (6.9) [c.119]
Необходимым условием максимума функции и(у) в точке у при выполнении ограничений задачи (6.9) является существование такого множителя Лагранжа К, что при у = у и К — Я выполняются условия [c.119]
Для решения задачи (1.2) — (1.4), т. е. выбора такого варианта распределения ресурса Xi (i = 1,. . ., п) и соответствующих плановых заданий yt (i = 1,. . ., д), связанных с xi соотношением (1.2), можно использовать метод множителей Лагранжа, описанный в 4 гл. 1. Функция Лагранжа имеет вид [c.339]
Множитель Лагранжа в задаче (1.2) — (1.4) согласно его интерпретации, приведенной в 4 гл. 1, равен отношению прироста затрат к приросту выпуска на эффективной кривой, т. е. угол наклона касательной к эффективной кривой в точке (X, У , который мы обозначим через а, связан с множителем Лагранжа [c.343]
Рассмотрим некоторую произвольную точку X, У), принадлежащую эффективной границе множества G. Решим задачу оптимизации (1.2) — (1.4) с У=У и найдем ее решения у( и xt (i = 1,. . ., и), а также множитель Лагранжа v. Очевидно, что [c.343]
Отметим один интересный факт, следующий из свойств множителя Лагранжа v задачи (1.2) — (1.4) с У = У. Если вместо задачи (1.2) — (1.4) рассмотреть задачу оптимизации [c.343]
Интегральный метод дает наиболее общий подход к решению задач факторного анализа по разложению общего прироста показателя по факторным приращениям. В основе интегрального метода лежит интеграл Эйлера — Лагранжа, устанавливающий связь между приращением функции и приращением факторных признаков. Для функции z = (x, у) имеем следующие формулы расчета факторных влияний. [c.275]
Очевидно, что такая задача может быть решена методами условного экстремума. В этом случае строится функция Лагранжа [c.199]
Метод Лагранжа — метод дифференциального исчисления, применяемый при наличии ограничивающих условий. Этот метод позволяет перейти от оптимизационной задачи с ограничениями к альтернативной оптимизационной задаче без ограничений, у которых совпадают решения. Фактически математическая задача на условный экстремум заменяется задачей на безусловный экстремум, но с увеличением числа неизвестных. [c.119]
Коэффициент k называется множителем Лагранжа. Если в исходной задаче имеется набор ограничений, то в альтернативной задаче во втором слагаемом появляется сумма слагаемых с коэффициентами k(i). Если ограничения по г-му ресурсу в точке экстремума обращаются в равенство, то множитель Лагранжа для них не равен нулю. Если ограничения в точке экстремума не оказывают влияние на решение, то множитель Лагранжа для них равен нулю. [c.120]
Тем самым приходим к задаче нелинейного программирования с линейными ограничениями (4.2), (4.3) и вогнутой целевой функцией. Воспользуемся методом Лагранжа, причем так, как это было сделано в [58]. Построим функцию [c.104]
Сопоставим задаче (4.64) двойственную ей задачу. Для этого составим функцию Лагранжа [c.133]
Величина неоговоренной переменной Э. (Л/х) представляет собой коэффициент эластичности двойственной оценки (множителя Лагранжа) по доходу в задаче, максимизирующей полезность потребления. Эту оценку также называют эластичностью денег от дохода , или эластичностью предельной полезности дохода. Оценка определяется по ставшей традиционной формуле [c.262]
Задача А является задачей нелинейного программирования с одним нетривиальным ограничением (неравенство (55)). Функция Лагранжа для задачи имеет вид [c.74]
Эта задача решается с помощью множителей Лагранжа. В оптимуме существует такой множитель X, что частные производные функции Лагранжа L = PX-X [g(x) -q] равны нулю. [c.33]
Эта задача решается с использованием неопределенных множителей Лагранжа X [c.120]
Представляет интерес интерпретация множителей Лагранжа в этой задаче. Известно, что множители Лагранжа имеют смысл теневой цены они отражают изменения в оптимальном значении целевой функции, соответствующие малому изменению в ограничении. В нашей задаче речь идет о предельном увеличении (уменьшении) народнохозяйственной прибыли за счет увеличения (уменьшения) запасов на 1 т. Но именно это содержание вкладывается в понятие потребительной стоимости (затрат обратной связи) X. С учетом условия первого порядка величина X действительно равна разности между ценой и приростными затратами текущего периода, или их дисконтированной оценке в следующем периоде. [c.121]
В том случае, когда любое из сечений /о (0, i) или /о (0, j) невыпукло в нуле, т.е. когда выпуклая оболочка этой функции на V имеет для С = 0 ординату, большую ординаты самой функции, расширение Лагранжа задачи НП не эквивалентно. Выпуклость в нуле даже всех сечений функции достижимости (рис. 9.20) координатными плоскостями, естественно, не гарантирует эквивалентности расширения Лагранжа, так как [c.372]
Метод множителей Лагранжа. Рассмотрим слеиующую задачу Найти максимум U(xt, х2), где Xi и х2 — скалярные переменные, при условии g(xi, х2) = b. [c.46]
Для построения двойственной задачи обратимся к методу множителей Лагранжа, который хотя и не эффективен при решении задач линейного программирования, но полезен для их качественного анализа. Функция Лаграижа для задачи (4.22) — (4.24) имеет вид [c.53]
Способ решения задачи зависит от вида функции /. При линейной функции методом решения будет линейное программирование, при нелинейной фиункции — возможно привлечение метода множителей Лагранжа либо динамического программирования. [c.105]
Как известно, задача может быть решена с помощью функций Лагранжа. В более простых случаях задача сводится к нахождению либо максимума прибыли, либо минимума затрат. В этих случаях можно обойтись дифференциальными уравнениями. Но вернемся к вопросу о характере ограничений — о свойствах изокосты. [c.105]