Дальнейшее развитие численных методов было связано со стремлением учесть как ограничения u U, так и дополнительные условия F1=.. =Fm=Q (обычно они имели форму условий на правом конце траектории Ф( [х(Т)]=0). Кроме того, предметом особых усилий были ограничения в фазовом пространстве (Ф [х (t)] 0 при всех t) и ограничения общего вида (Ф [х (t), и (f)] 0). Именно связанные с учетом таких условий трудности стимулировали развитие методов вариаций в фазовом пространстве ( 15, 16 см. также [55], [56]). Эти методы настолько успешно справлялись с ограничениями в фазовом пространстве, что возникающие на этом пути серьезные трудности (отсутствие сходимости в методе локальных вариаций, медленная сходимость, ненадежные и неточные результаты, учет условий u U) в какой-то мере выпали из поля зрения. К тому же на основании спорных оценок числа операций был сделан вывод о преимуществе метода локальных вариаций перед другими итерационными методами (метод трубки, см. 16), и эта форма вариаций в фазовом пространстве стала, видимо, основным вычислительным инструментом. [c.112]
Медленная сходимость. В 15 было выяснено, что шаг h сетки в фазовом пространстве должен быть существенно меньше шага по времени т, например, А=0 (т2). Одна итерация метода локальных вариаций смещает исходную траекторию на расстояние h и для того, чтобы добраться до оптимальной траектории, следует совершить не менее О (-Л = О f- -j О (N2) таких [c.130]
В процессе эксплуатации метода соответствующие приемы были разработаны, и практическая технология выглядит следующим образом сначала интервал [О, Т] разбивается на небольшое число (скажем N—10) частей, и шаг h достаточно велик. Итерации метода локальных вариаций повторяются до тех пор, пока они сопровождаются падением суммы (2). Как только встретилась ситуация, в которой ни одно из х (t ) не было смещено с уменьшением (2), шаг h делится пополам, и с новым шагом h на той же временной сетке снова начинаются итерации. Если после уменьшения h первая же итерация не привела к вариации траектории, сетка по времени дробится, например, число N увеличивается вдвое. После этого шаг h увеличивается, и начинается очередной [c.130]
Другими словами, тривиально неоптимальная траектория оказывается оптимальной относительно неполного множества вариаций управления (7). Но методы локальных вариаций (включая сюда и метод бегущей волны) основаны на просмотре класса вариаций управления еще более узкого, чем класс (7), и подобные ситуации оказываются для них тупиковыми траектория перестает варьироваться. Таким образом, сходимость этих методов доказана быть не может. [c.132]
Минимум сеточного функционала ищется процессом последовательного изменения значений сеточной функции в узлах, причем рекомендуется типичная для метода локальных вариаций технология сначала делаются попытки менять каждую переменную на заданную величину h, они продолжаются (циклически) до тех пор, пока приводят к уменьшению функционала. Затем то же самое делается с шагом А/2, и т. д. Если отвлечься от этой технологии, то метод локальных вариаций, по существу, совпадает с хорошо известным релаксационным методом. Разница лишь в том, что в последнем смещение значения Uj m в узле сетки определяется решением задачи на минимум функцио- [c.135]
Рассмотрим тот же пример, который был использован в 16 для демонстрации аналогичного дефекта метода локальных вариаций. Здесь нам не очень важны детали, важно следующее [c.162]
Мы не будем подробно объяснять физический смысл задачи. Ограничимся лишь указанием, что уравнения (1) описывают вращение твердого тела (спутника), снабженного тремя реактивными двигателями, F0 есть расход топлива, условия (3) — суть условия отсутствия вращения (стабилизация). Эта задача была решена аналитически в [33], точное решение ее известно, и она представляет собой удобный методический пример. В дальнейшем была предпринята попытка численного решения задачи методом локальных вариаций[41 ]. Мы говорим лишь о попытке потому, что, как это станет ясным из дальнейшего, полученные в [41 ] численные результаты оказались очень грубыми. Наконец, в нашей работе [96] была показана возможность эффективного и весьма точного решения задачи методом проекции градиента. [c.276]
Решение задачи методом локальных вариаций описано в [41 ] (это же решение воспроизведено в монографии [86]). Численное решение задачи описывалось сеточными функциями xln (п= =0, 1,.. ., N), м,н /2, связанными конечно-разностными уравнениями (второго порядка точности) [c.276]
Эта траектория в [41 ] характеризуется как локальный минимум задачи локальные вариации оставляют ее неизменной, так как переходы ж - > ж +/г не приводят к уменьшению (5) (при любом К). [c.277]
Заметим, что задача очень благоприятна для решения ее методом локальных вариаций в ней отсутствуют ограничения и (t) U, [c.277]
В целом одна итерация по затратам времени соответствует, примерно, пятикратному интегрированию прямой системы. Заметим, что эта система (как и сопряженные) интегрировалась не с шагом сетки t = TjN, а с меньшим, обеспечивающим высокую точность вычисления значений xi (t). В [41] нет данных, которые позволили бы составить хоть какое-то представление о трудоемкости решения задачи методом локальных вариаций. Однако сравнение точности полученных решений можно произвести. В [41] найдено решение с / 0 = 169,42, ошибка 2,87 составляет 1,7% от jF0=166. В наших расчетах ошибка не превосходит О, 07, т. е. 0,04 %. В действительности относительная погрешность расчетов больше. Дело в том, что величина F0 состоит из двух частей [c.280]
Здесь [i=2/3, Х = 1/3, сс1=100, а3=331/3 — параметры, в терминах которых в [41] записана система уравнений движения (1). Это не что иное, как то решение, которое мы выше предположили оптимальным ( -функции с полюсами в точках х2 ( )=0). Если провести вычисления, получим min F0=2,5075. В [41] формула (15) приведена с ошибкой пропущен множитель А=1/3 перед вторым радикалом, что и приводит к величине min jF0=3,5 (кроме того, запись (15) в [41] содержит и две легко устранимые опечатки). Таким образом, методом локальных вариаций найдено решение с ошибкой в F0, превышающей 40% в наших расчетах ошибка 0,4%. [c.285]
Линеаризация 165 Локальная вариация 129 Локальный экстремум 197, 199, 312 Ломаная Эйлера 126 [c.485]
Сочетание локального решетчатого поиска с методом направленного поиска — одна из вариаций на тему комбинирования некоторых лучших моментов обоих методов способом, призванным компенсировать слабые стороны каждого из них. Этот метод быстрее, чем поиск по узлам решетки, и медленнее, чем чистый направленный поиск. Он менее тщателен, чем поиск по узлам решетки, и более тщателен, чем направленный поиск. Он менее подвержен попаданию в локальный максимум, чем направленный поиск. [c.85]
Анализ второй вариации функционала. Он позволяет более или менее эффективно выяснить, является ли исследуемое решение уравнения (5) точкой минимума F [х ( )] (локального, разумеется), или оно является стационарной точкой другого типа. Во многих прикладных задачах такие вопросы решаются установлением единственности решения уравнения Эйлера и ограниченности функционала снизу. [c.22]
Метод проекции градиента и скользящие режимы. Следует особо отметить те задачи, в которых конструкция (45) будет иметь значительное преимущество перед методом проекции градиента в форме (46), (43). Это — задачи, где оптимальная траектория содержит участок так называемого скользящего режима (см. 23). В этом случае могут существовать неоптимальные траектории, на которых конструкция (46) при не слишком больших s дает функцию u(t, s)=u (t) такая траектория оказывается тупиковой для методов (46), (43). В то же время конструкция (45) приводит к ненулевой вариации управления и (t, з)фи (t). Пример, рассмотренный в 23, показывает, что эта возможность действительно реализуется при численном решении подобных задач, причем множество тупиковых для локального варианта проекции градиента (46) траекторий достаточно мощно и содержит траектории, далекие от оптимальной. Тем не менее, в дальнейшем мы будем иметь дело именно с локальным вариантом. Это связано с тем, что среди известных автору прикладных задач, решавшихся приближенными методами, нет задач, содержащих скользящие режимы. Более того, в монографиях [39], 1102], посвященных преимущественно обобщению теории вариационных задач, охватывающему и скользящие режимы (что, разумеется, приводит к серьезному усложнению аналитического аппарата теории), подобных примеров тоже нет Речь, разумеется, идет о примерах задач, естественно возникших в приложениях, а не специально сконструированных с целью иллюстрации тех или иных возможных осложнений. С этой точки зрения те предостережения, которые делает инженерам и физикам автор [102] в связи с наивным использованием результатов классического вариационного исчисления, представляются преувеличенными. Разумеется, практика решения вариационных задач может расшириться, и задачи со скользящими. режимами станут обычным, инженерным явлением. В этом случае изменится и отношение к соответствующему разделу в теории, и в вычислительные методы будут внесены необходимые коррективы. [c.155]
Так же можно убедиться, что для малых вариаций 8м (t) точкой локального максимума будет любое управление, равное +1 на чередующейся последовательности интервалов. Таким образом, на пути к достаточно точной аппроксимации скользящего режима алгоритм приближенного решения, основанный на малых вариациях 8ы (t), встретит огромное число локальных экстремумов, в каждом из которых процесс может застрять . Эта ситуация характерна для задач со скользящими режимами. Преодолеть такие трудности можно с помощью алгоритмов, в которых минимизирующая последовательность управлений строится процессом конечных вариаций управления на множестве малой меры. В данном примере легко реализовать такой процесс и продемонстрировать его эффективность. Однако эта легкость была бы следствием тривиальности самой задачи ведь она без труда решается в уме . [c.198]
Непосредственно видно, что (М, N) является предсказуемым процессом ограниченной вариации, причем MN — (М, N) есть локальный мартингал. [c.370]
Наиболее значительной трудностью использспания методов динамического программирования является то, что не всегда, даже с помощью ЭВМ, удается перебрать необходимое число. стратегий между двумя шагами, однако при некоторых упрощениях можно почти всегда свести число стратегий к величине, которую представляется возможным решить с помощью ЭВМ. В этом случае, в частности, можно использовать метод "трубок" или метод локальных вариаций последний из них легче всего реализуется на ЭВМ. [c.152]
Метод локальных вариаций. Метод, разработанный Ф. Л. Чер-ноусько, представляет собой, видимо, наиболее широко используемую форму метода вариаций в фазовом пространстве. Метод носит итерационный характер, каждая итерация является переходом от некоторой траектории к близкой к ней, лучшей по величине минимизируемого функционала. Пусть х (t) — некоторая траектория системы я=/, удовлетворяющая краевым условиям х (0) = =Х0, х (Т)=Хг и фазовым ограничениям. Эту траекторию можно представить последовательностью точек на временнбй сетке [c.127]
Существенная неполнота локальных вариаций и тупиковые ситуации. Наиболее серьезным дефектом метода локальных вариаций является то, что он использует чрезвычайно узкое множество соседних с данной траекторий. В этом множестве может не оказаться лучшей, однако это не обязательно свидетельствует об оптимальности данной траектории и может быть следст-вием того, что алгоритм иссле-дует не все возможные вариации траектории. Пример подобного рода строится очень просто в задаче о вертикальном подъеме ракеты, подробно описанной в 28, 29, ищет- Рис 13. [c.131]
Сделанные выше утверждения нуждаются в пояснениях. Их не следует понимать в том смысле, что методом локальных вариаций нельзя получить решение задачи ведь дефекты этого метода проявляются лишь в определенных ситуациях в принципе, начав с некоторого достаточно разумного начального приближения, можно последовательными локальными вариациями получить траекторию, сколь угодно близкую к оптимальной, так и не столк- [c.132]
Можно ли доказать подобные теоремы для метода трубки при том бесхитростном способе построения сеток, который показан на рис. 14, или сетки следует строить с учетом структуры области достижимости для траектории x=f за малое время t — неизвестно. Однако и контрпримера, аналогичного контрпримеру для метода локальных вариаций, насколько известно автору, не построено. [c.134]
Метод локальных вар наций и релаксационный метод. В [86 ] метод локальных вариаций был распространен на задачи минимизации функционалов от функций нескольких независимых переменных. Хорошо известно, что многие задачи математической физики (краевые задачи для уравнения Лапласа, для бигармонического уравнения и другие) могут быть сформулированы либо как задачи на минимум соответствующего функционала, либо как задачи с уравнениями в частных производных (эти уравнения — суть уравнения Эйлера для вариационной формулировки). Применительно к таким задачам метод локальных вариаций состоит из двух элементов. [c.134]
Таким образом, оба метода — суть некоторые варианты метода покоординатного спуска для минимизации (9). Следует иметь в виду, что на данном этапе основной проблемой в решении подобных задач является не столько построение аппроксимации типа (9), сколько разработка возможно более эффективных методов минимизации. Создание новой техники минимизации дает право говорить о новом методе решения задачи типа (8) — но лишь в том, разумеется, случае, если эта техника имеет какое-то преимущество по сравнению с уже известными. К сожалению, в публикациях по методу локальных вариаций (например, [41], [55], [56], [86]) нет данных, которые позволили бы оценить трудоемкость расчетов и сравнить с эффективностью стандартного релаксационного метода. К тому же сам по себе релаксационный метод в настоящее время относится к числу наиболее слабых, и при достаточно больших N (> 30) почти не употребляется. Вопросам ускорения процесса минимизации уделялось большое внимание с некоторыми результатами по этому вопросу можно познакомиться по работам [16], [50], [24]. Здесь отметим лишь очень простое усовершенствование релаксационного метода — метод последовательной сверхрелаксации. После того как новое значение uj+]n найдено из условия минимума функционала, оно еще раз пересчитывается по простой формуле [c.135]
Но уравнение для х1 в силу Аг—0 очень просто, и из условий х1 (Т)=0 и и1 (t) 0 следует, что первое слагаемое (144) будет найдено точно, какой бы ни была функция и1 (t) (а в данной задаче имеется семейство решений, дающих одно и то же минимальное значение F0, так что и1 (t) определяется с большой степенью неопределенности). Таким образом, вся ошибка численного решения связана с ошибкой во втором слагаемом, и относительная погрешность в нем составляет 12,5% для метода локальных вариаций и 0,3% в наших расчетах. В [41 ], [86] исходная траектория характеризуется как точка локального минимума вариационной задачи. Это, как показали наши расчеты, неверно. Легко проверить (предоставим это читателю), что исходная траектория является стационарной точкой метода локальных вариаций принятая в этом методе техника варьирования траектории действительно не приводит к изменению значения функционала. Но это есть следствие дефекта метода, а не особенность данной траектории. Ведь если бы мы имели дело с локальным минимумом задачи, то и наш метод не позволил бы эту траекторию проварьировать как и всякий реализуемый метод, он является методом поиска лишь локального минимума. Поэтому замену функционала (2) на функционал [c.280]
Усредненный" баланс для всего комплекса маркетинга в данном случае вряд ли возможен. Центр тяжести смещается с продукта на другие элементы маркетинга, например на систему распределения продукции, которую сложнее всего стандартизировать. В результате эволюции национальные системы распределения вобрали в себя все многообразие культурных, экономических и правовых особенностей среды. Поэтому для компаний, чьи товары идентичны во всем мире, не считая второстепенных вариаций, решающим локальным элементом являются дилеры, обеспечивающие послепродажное обслуживание и отвечающие за гарантии (например, компания "Оливетти"). [c.39]
Переменная z(t) относится ко второй группе и не входит в другие слагаемые функции R, кроме R Ql/, поэтому условия локальной неулучшаемости R по z с учетом того, что допустимая вариация Sz > О, приводят к неравенствам [c.387]
Если TV достаточно велико, мы можем в этом классе получить очень точную аппроксимацию скользящего режима на интервале 1 < < 2 приближенная величина я2 ( ) будет отличаться от точной (соответствующей скользящему режиму) xz ( ) = на величину, не большую т. Однако попытка численного решения задачи сразу же оказывается безуспешной дело в том, что управление (3) является точкой (в функциональном пространстве) локального максимума, достаточно далекой от точки глобального максимума. Следует сразу же разъяснить это управление является точкой локального максимума лишь относительно класса малых вариаций управления. Относительно класса конечных вариаций управления на множестве малой меры оно точкой локального максимума не будет. В этом читатель без труда убедится, если проварьирует управление лишь на двух малых интервалах сетки, примыкающих к точке =1,5 на левом следует заменить и ( ) = —1 на ц=+1, [c.197]
По определению, семимартингал X есть пропесс, представимый в виде (1), где А = (At, t)t o - процесс ограниченной вариации, т.е. J dAs(ш) < оо, > О, ш 6 П, и М = (Mt, t) — локальный мартингал. [c.362]
Следствие 1. Каждый предсказуемый локальный мартингал X = (Xt, t)t o с XQ — 0, имеющий ограниченную вариацию, стохастически неотличим от нуля. [c.367]