Экстремум, максимум это или минимум, может быть либо глобальным (действительно наибольшее или наименьшее значение), либо локальным (наибольшее или наименьшее значение в непосредственной окрестности). Наверняка знать глобальный экстремум почти невозможно, так как вы не представляете себе область значений независимых переменных. Но если область значений вам известна, то вы просто нашли локальный экстремум. Поэтому зачастую, когда люди говорят о глобальном [c.185]
По устойчивости. Помните, вы хотели найти локальный экстремум на очень широкой области значений независимых переменных и использовать его вместо глобального экстремума. Поэтому, если в этой области имеется более одного экстремума, вы не захотите попасть в объятия такого из них, который менее экстремален. [c.187]
В одномерном случае, если вещественная функция 0, определенная на интервале (а, 6), достигает минимума во внутренней точке с G (а, Ь) и если в этой точке у ф есть производная, то она должна быть равна нулю ф (с) = 0. Связь равенства производной нулю и локального экстремума во внутренней точке можно обобщить на многомерный случай следующим образом. [c.164]
Замечание 3. Пример функции ф(х) = х3 показывает, что обратное к теореме 2 утверждение неверно (рассмотрим точку х = 0). Кроме того, пример функции ф(х) = х показывает, что функция может иметь локальный экстремум, при этом производная нулю не равна (в той же точке х = 0) 1. [c.165]
До настоящего момента мы находили локальные экстремумы. Однако в оптимизационных задачах, с которыми встречаются в экономике (и в других дисциплинах), обычно ставится задача нахождения абсолютного экстремума. Важность выпуклых (и вогнутых) функций в оптимизационных задачах связана с тем, что локальные минимумы (максимумы) таких функций являются абсолютными. Прежде чем мы это докажем (теорема 8), обсудим более детально свойства выпуклости (вогнутости) функций. [c.170]
Если при переходе через точку XQ производная / (ж) сохраняет постоянный знак, то функция не имеет строгого локального экстремума. [c.147]
Проверим является ли эта критическая точка точкой локального экстремума. Воспользуемся вторым правилом отыскания экстремума [c.156]
Из условий (15.3) вытекает, что в точке локального экстремума [c.314]
Если же d2z является знакопеременной квадратичной формой, то функция z = /(ж] , х%,. .., хп) не имеет локального экстремума в точке PQ. [c.315]
Необходимые условия локального экстремума приводят к системе алгебраических уравнений [c.351]
Отсюда согласно достаточному условию локального экстремума найденная стационарная точка определяет локальный максимум функции прибыли. Причем, П(1, 2, 3) = 25. Значения функции прибыли на границе тела (16.6) меньше 25. Действительно, наибольшее значение функции прибыли Yl(x,y,z) при ж = О равно 73/3 24,33, при у = 0 равно приблизительно 22,33, а при z = 0 равно 19. [c.353]
В дальнейшем и в других работах (см., например, [36, 211, 173]) были получены аналогичные результаты. В доказанных по этому поводу утверждениях гарантируется сходимость соответствующего процесса стохастической аппроксимации к одному из локальных экстремумов или одному из корней функции регрессии f(x). Между тем для решения многих содержательных задач требуется итеративный алгоритм, обеспечивающий сходимость не к какому-нибудь локальному экстремуму, а к глобальному оптимуму функции регрессии. [c.369]
В [52] предложен алгоритм, представляющий сочетание процесса типа стохастической аппроксимации со скачкообразным случайным процессом. Алгоритм позволяет построить итеративную последователь-кость, сходящуюся по вероятности (в некотором обобщенном смысле) к глобальному экстремуму функции регрессии. Алгоритм типа стохастической аппроксимации обеспечивает притяжение к локальному экстремуму, а скачкообразный случайный процесс позволяет выделить глобальный экстремум среди множества экстремальных точек функции [c.369]
В основе теоремы 6.1 лежат следующие интуитивные соображения. При отсутствии скачка (компонента п=/-- ) составляющая хп процесса сходится к одному из локальных экстремумов функции регрессии, в окрестности которого она и остается до ближайшего скачка. При возрастании параметра jj, время между соседними скачками экспоненциально увеличивается (существенную роль в этом играет условие p(s)< /2). При этом показатель экспоненты наибольший для окрестности глобального экстремума. С увеличением ц увеличивается среднее время непрерывного пребывания в окрестности локального экстремума, в которую попала точка хп. Но время пребывания в окрестности глобального экстремума растет быстрее, чем для локальных экстремумов. Отсюда и результат теоремы 6.1. [c.371]
Из соотношения (3) следует также условие экстремума — максимума или минимума — средней величины. Если производная некоторой функции непрерывна, то сама эта функция достигает экстремальных значений в тех точках, где производная обращается в нуль. Таким образом, при непрерывном изменении предельной величины справедливо следующее условие локального экстремума средней величины локальные максимумы и минимумы средних величин расположены в тех точках, в которых выполняется равенство [c.561]
Так же можно убедиться, что для малых вариаций 8м (t) точкой локального максимума будет любое управление, равное +1 на чередующейся последовательности интервалов. Таким образом, на пути к достаточно точной аппроксимации скользящего режима алгоритм приближенного решения, основанный на малых вариациях 8ы (t), встретит огромное число локальных экстремумов, в каждом из которых процесс может застрять . Эта ситуация характерна для задач со скользящими режимами. Преодолеть такие трудности можно с помощью алгоритмов, в которых минимизирующая последовательность управлений строится процессом конечных вариаций управления на множестве малой меры. В данном примере легко реализовать такой процесс и продемонстрировать его эффективность. Однако эта легкость была бы следствием тривиальности самой задачи ведь она без труда решается в уме . [c.198]
Начиная с каких-то траекторий, алгоритм быстро приводил к локальному экстремуму — траектории, качественно близкой к изображенной на рис. 21. Эти локально экстремальные траектории в зависимости от начального управления имели существенно разную форму, разные значения функционала F0, но все они состояли из релейных управлений и ( ) = -(- ( — 1) на чередующейся [c.200]
Линеаризация 165 Локальная вариация 129 Локальный экстремум 197, 199, 312 Ломаная Эйлера 126 [c.485]
Пример 1. Эффективность капитальных вложений Е равна 0,5, плановый промежуток времени равен 5 годам, базисная норма производственного накопления составляет 10%. Линия I рис. 4 есть график роста фонда потребления при условии, что 0,10 <<7< 0,30. Ясно видно, что относительный (локальный) экстремум функции находится правее верхней границы (0,30). Расчет по формуле подтверждает это. Формула (2.7) дает следующее значение оптимума [c.58]
Итак, формула (2.7) неприменима при определении величины оптимума в случаях, если относительный (локальный) экстремум не расположен Б интервале изменений нормы производственного- [c.59]
Случай 1. Локальный экстремум, совпадающий с абсолютным, располагается в интервале возможных изменений q и исчисляется по формуле (2.7), В этом случае отклонения от оптимума накопления и потребления возможны (пределы изменения q допускают такие отклонения), но нерациональны с точки зрения роста фонда потребления. К.ак уменьшение, так и увеличение q приводит к снижению индекса роста фонда потребления. Такое явление свидетельствует об устойчивом, равновесном состоянии экономики в области оптимума (рис.3). [c.60]
Случай 2. Локальный экстремум выходит за рамки интервала изменений нормы -накопления, превышая верхнюю границу. При этом абсолютный максимум нормы накопления совпадает с верхней границей. Это значит, что максимум фонда потребления достигается при наивысших возможных значениях нормы производственного накопления в данном. периоде. Центр тяжести в развитии производства перенесен на накопление так, что, если [c.60]
Локальный экстремум вышел за рамки интервала допустимых изменений нормы накопления. Абсолютный максимум в этих условиях равен [c.63]
Если игрок пользуется дневными графиками, то в качестве периода берется день. Чем на больший срок потенциально открывается сделка, тем большее количество игровых периодов должно использоваться для нахождения локальных экстремумов цены. [c.481]
Методы поиска оптимальной точки, рассмотренные в этом разделе, позволили решить многие задачи механики, а также наиболее простые экономические задачи. Необходимо, однако, заметить, что в случае достаточно сложных функций U(x) решение уравнений (4.11) и тем более (4.12) представляется крайне затруднительным. Поэтому даже для функций с единственным локальным максимумом проблему безусловной оптимизации нельзя считать решенной только на основе соотношений (4.11) и (4.12). Проблема еще более усложняется, если функция U(x) не является достаточно гладкой. f С появлением вычислительной техники широкое распространение получили так называемые градиентные методы, состоящие в определении направления наискорейшего роста функции U(x) и в переходе от некоторой исходной точки к другой, более предпочтительной. Затем новая точка берется за исходную и процесс повторяется. В настоящее время построены различные варианты градиентных методов и разработаны вычислительные системы, позволившие численно решить многие важные задачи безусловной оптимизации (см., например, [31]). Однако проблему многоэкстремальности (т. е. неединственности локального экстремума) до сих пор нельзя считать решенной. [c.45]
Для выявления типа колебаний воспользуемся приемом, предложенным М. Кендалом. Он состоит в подсчете так называемых поворотных точек в ряду отклонений от тренда м,, т. е. локальных экстремумов. Отклонение, либо большее по алгебраической величине, либо меньшее двух соседних, отмечается точкой. Обратимся к рис. 9.2. При маятниковой колеблемости все отклонения, кроме двух крайних, будут поворотными , следовательно, их число составит п - 2. При долгопериодических циклах на цикл приходятся один минимум и один максимум, а общее число точек составит 2(и /), где / - длительность цикла. При случайно распределенной во времени колеблемости, как доказал М. Кендэл, число поворотных точек в среднем составит 2/3 (п - 2). В нашем примере при маятниковой колеблемости было бы 15 точек, при связанной с 11-летним циклом было бы 2-(17 11) 3 точки, при случайно [c.343]
Если следующая за фигурой волна достигла ее начального уровня и самая высокая цена, достигнутая рынком, не конечная точка фигуры Эллиота, то эта точка завершения будет возникать после достижения точки экстремума, а не до этого. Поэтому обращайте внимание на вторичные шпили (локальные экстремумы, se ondary spike), возникающие после глобальных максимумов и минимумов, -они могут служить предупреждением, что фигура Эллиота завершилась не в точке глобального экстремума. Ищите также области значительной консолидации, следующие вскоре после важного максимума или минимума - такая консолидация может представлять собой Неограничивающий Треугольник, завершающий тренд после максимума или минимума. [c.215]
Кроме того, никто не мешает аналитикам проводить не прямые, а кривые линии трендов. Многие тенденции очень хорошо апроксимируются таким образом. Почему же с таким приёмом на практике мы не встречаемся По нашему мнению, дело в том, что, во-первых, для построения такой кривой требуется знание математики в объёме, превышающей программу средней школы, а надо сказать, многие аналитики и трейдеры (как и наши, так и иностранные) не очень то в ладах с математикой. А, во-вторых, кривую линию можно построить минимум по трём точкам. В этом случае к тому моменту, когда наша кривая укажет нам на новый локальный экстремум, тенденция может смениться. [c.139]
Нельзя также оба эти термина смешивать с термином " миогоэкстремалъ-ные задачи", для которых характерны не разные критерии, а наличие у целевой функции не только глобального (возможно, и не единственного) экстремума, но и локальных экстремумов. [c.199]
Еще один способ нахождения локального экстремума связан с матрицей Гессе. Теорема 4 (проверка второй производной) [c.168]
Если матрица Гессе Н0(с) не является ни положительно, ни отрицательно определенной, но тем не менее не вырождена, то точка с не может быть точкой локального экстремума (см. теорему 2). Значит, точка с — седловая. [c.169]
Наличие локального экстремума функции при некотором значении аргумента нисколько не зависит от того, как ведет себя функция вдали от этого значения. С этой точки зрения понятно, что строгий локальный минимум функции может быть больше строгого локального максимума, — подобно тому как впадина в горах может быть выше, чем небольшая вершина. В отличие от строгого локального максимума (минимума) существует еще понятие строгого глобального максимума (минимума] на некотором множестве. Естесственно, что строгий глобальный максимум больше всех остальных значений значений функции на данном множестве (в том числе и дальних), а строгий глобальный минимум — меньше. В географических горных терминах строгий [c.143]
Теорема 2 (достаточные условия экстремума). Пусть в стационарной точке PQ и в некоторой ее окрестности функция z = f(xi, Ж2,. .., хп] имеет все непрерывные частные производные. Тогда, если в этой точке второй дифференциал d z является знакоопределенной квадратичной формой от дифференциалов dxi, dx2,. .., dxn независимых переменных, данная функция имеет в точке PQ локальный экстремум. При этом [c.315]