Тогда существует и минимизирующая последовательность u [c.82]
Применим эти соображения к минимизирующей последовательности траекторий u(k> ( ), х(4) ( ) [c.85]
Второе направление связано с построением минимизирующей последовательности траекторий, причем в качестве независимого аргумента берется не управление, а фазовая траектория (метод вариаций в фазовом пространстве). При таком подходе легко учитываются фазовые ограничения, однако возникают другие трудности. Этому направлению также уделено сравнительно небольшое место, так как имеются монографии [57], [86], посвященные, в основном, именно этому подходу. [c.109]
Решение этой задачи в принципе не так уж сложно — алгоритм дискретного динамического программирования, подробно описанный в 44, приводит к цели с затратой числа операций в общем случае порядка О (Nh 2n). Последовательность точек (6) и объявляется оптимальной траекторией задачи (1) — (5) разумеется, речь идет о приближенно оптимальной траектории, точность зависит от шагов сетки т и А. Если элементарная операция реализована точным решением задачи типа (1) — (5) на малом интервале [t(, tt+1], то мы имеем дело с точной траекторией управляемой системы (2), проходящей через узлы ж/, в моменты tf обычно элементарная операция реализуется не абсолютно точно, и узлы (6), соединенные, например, отрезками прямых, представляют некоторую аппроксимацию решения системы ж=/. Если нас интересует не только оптимальная траектория (6), но и реализующее ее управление и (t), то его можно восстановить по узлам (6) с помощью той же элементарной операции. Следует прежде всего подчеркнуть ту легкость, с которой данный метод справляется со всеми ограничениями на фазовую часть траектории, будь то ограничения на правом конце траектории (х (Т)=Х1) или еще более сложные ограничения типа х (t) G при всех t. В известной монографии [57] отражена история развития методов приближенного решения задач оптимального управления группой ВЦ АН СССР под руководством Н. Н. Моисеева. Работа начиналась с естественной попытки строить минимизирующие последовательности управляющих функций. После первых успехов в решении простейших неклассических задач (это — задачи, содержащие только ограничение типа u U без условий на правом конце траектории в [40] опубликовано решение задачи о максимальной дальности планирования) встретились определенные трудности, связанные с огра- [c.122]
Описываемый ниже метод является типичным методом спуска в пространстве управлений (методом построения минимизирующей последовательности управлений). Ниже будут очень подробно описаны не только принципиальная схема метода, но и детали вычислительной технологии. Второстепенные на первый взгляд, они требуют достаточно ответственного и квалифицированного решения. От того, насколько удачно решены эти вопросы, часто самым существенным образом зависит эффективность метода в целом. Есть и другая причина, побуждающая нас к столь подробному изложению. Дело в том, что при описании других методов спуска в пространстве управлений мы ограничились изложением лишь их основной конструктивной идеи. Практическая реализация этих методов неизбежно потребует решения целого ряда вопросов, которые мы условно относим к вычислительной технологии. Мы не излагали соответствующих рекомендаций, во-первых, потому, что они часто отсутствуют и в оригинальных работах, а во-вторых, потому, что они аналогичны тем, которые подробно будут описаны в 20, 21. [c.164]
Общие соображения о построении минимизирующей последовательности управлений не определяют однозначно алгоритм фактического решения прикладных задач. Если предполагается такой алгоритм все-таки довести до программы, возникает большое число вопросов, которые мы условно отнесем к вычислительной технологии. Грамотное и ответственное решение таких вопросов совершенно необходимо неудачное или случайное их решение способно испортить даже очень хорошую общую идею. Однако специфической особенностью этой стороны дела является отсутствие однозначного решения вопросов технологии. [c.173]
Принципиальное отличие этого функционала от функционала (1) уже обсуждалось в 4. Возможность с достаточной точностью аппроксимировать вариацию функционала (1) выражением (7) с небольшим числом k связана с гладкостью функции 8ж (f), являющейся решением дифференциального уравнения в вариациях следствием этого является и гладкость функции Фх [х (t)]bx (t), значения которой в окрестностях точек аппроксимации, грубо говоря, меняются при вариации управления в ту же сторону, в какую они меняются в точках аппроксимации. Поэтому, учитывая 8Ф при построении 8ц ( ) только в точках аппроксимации, мы в известной мере учитываем 8Ф всюду, где Ф [х (г)] тах Ф [х (t)], Для функционала (2) это уже не так, Ьи (f) — измеримая функция, ее значения в близких точках t, t" никак не связаны между собой, и аппроксимация типа (7) — неэффективна. Разумеется, она будет эффективна, если разместить по точке аппроксимации на каждом интервале счетной сетки (tn, tn+l), входящем в множество М. Однако в проводившихся автором расчетах число таких интервалов было 102, что уже приводит к задаче линейного программирования слишком тяжеловесной для того, чтобы решать ее на каждом шаге процесса построения минимизирующей последовательности управлений. Поэтому в расчетах использовался прием превращения компонент управления, явно входящих в функцию Ф [х, и], в фазовые координаты. Именно, полагаем [c.185]
Так же можно убедиться, что для малых вариаций 8м (t) точкой локального максимума будет любое управление, равное +1 на чередующейся последовательности интервалов. Таким образом, на пути к достаточно точной аппроксимации скользящего режима алгоритм приближенного решения, основанный на малых вариациях 8ы (t), встретит огромное число локальных экстремумов, в каждом из которых процесс может застрять . Эта ситуация характерна для задач со скользящими режимами. Преодолеть такие трудности можно с помощью алгоритмов, в которых минимизирующая последовательность управлений строится процессом конечных вариаций управления на множестве малой меры. В данном примере легко реализовать такой процесс и продемонстрировать его эффективность. Однако эта легкость была бы следствием тривиальности самой задачи ведь она без труда решается в уме . [c.198]
Это — достаточно сложная задача, как ее решать — не совсем ясно. Можно несколько упростить ее, требуя не минимизации jP0, а лишь выполнения неравенства bF0 [М, v(-)] < 0. Это, конечно, сделает процесс построения минимизирующей последовательности" менее эффективным" (замедлится скорость сходимости к экстремуму). Можно избрать и промежуточный вариант, выбирая множество Д/Тиз каких-то разумных соображений, а " для определения v ( ) решая все-таки задачу на условный экстремум. Но и после этого задача остается сложной, а ведь ее предстоит решать многократно. К тому же, работая в условиях невыпуклой области f (x, U), мы можем столкнуться с проблемой нелокального экстремума. Таким образом, этот подход реализуем, видимо, лишь в двух ситуациях [c.199]
В 18—23 были описаны методы построения минимизирующей последовательности управлений, использующие лишь первые производные входящих в задачу функционалов. Поэтому эти методы называют методами первого порядка. Давно было замечено, что при решении задач поиска минимума методом первого порядка сходимость оказывается очень медленной в окрестности точки минимума. Это и понятно ведь в этой окрестности, грубо говоря, первая производная минимизируемого функционала обращается в нуль, и приращение его при вариации аргумента (управления) определяется вторым членом разложения. Стремясь повысить скорость поиска и получить более точные результаты без существенного увеличения времени счета, естественно приходят к идее использования в вычислениях также вторых производных от функционалов задачи. Кроме того, с этим же связаны и надежды повысить эффективность поиска в условиях применения штрафных функций, когда сходимость методов первого порядка оказывается очень медленной даже сравнительно далеко от искомой точки минимума. Методы второго порядка разработаны не так подробно, как методы первого порядка, а опыт их фактического применения совсем невелик. Ниже будет описана общая схема метода второго порядка и рассмотрены возникающие при его реализации вычислительные проблемы. [c.201]
Мы будем решать обе задачи методом спуска по градиенту. В том и другом случае речь идет о построении минимизирующей последовательности. [c.218]
Видно, что процесс строит минимизирующую последовательность сеточных функций, однако значения F [zvl убывают столь [c.219]
Ошибка поиска, источником которой является то, что процесс построения минимизирующей последовательности не доводится до конца уменьшение этой ошибки в известной мере — вопрос машинного времени. Однако и здесь не случайно появилась оговорка только за счет продолжения расчета ошибку поиска нельзя сделать сколь угодно малой ведь поиск использует градиент, последний вычисляется приближенно по мере приближения численного решения к минимуму градиент стремится к нулю, входящие в него конечные слагаемые взаимно уничтожаются, происходит сокращение главных знаков и в остатке, который, собственно, и идет в вычисления, все большую роль начинают играть всевозможные ошибки приближенных методов. Поэтому, не повышая точности промежуточных вычислений, нельзя сделать ошибку поиска сколь угодно малой. [c.226]
В качестве следующей точки минимизирующей последовательности берется точка r +s Ьх. [c.404]
Вариационные задачи, у которых некорректность связана с отсутствием минимизирующего элемента, встречаются в приложениях. В частности, они иногда возникают в проблемах теории оптимального управления. Решить такую задачу — значит найти нижнюю грань / и построить какую-нибудь минимизирующую последовательность. В вариационных задачах физики и механики, как правило, можно рассчитывать на существование минимизирующего элемента. [c.80]
Предложен метод выбора вектора управления поликорпоративной системой с использованием аппроксимации множества Парето. Разработанный метод многокритериального выбора по сравнению с непосредственным применением принципа максимина позволяет избежать дифференцирования функции максимума (минимума) для выбора компромиссно-оптимального управления это преимущество особенно важно с учетом того, что функция максимума (минимума) непрерывно дифференцируема не на всей области определения. Применение данного метода в виде формирования минимизирующей последовательности управлений сводит решение многокритериальной задачи управления к последовательности решения скалярных задач оптимизации, для которых разработаны надежные численные методы решения. Использование предложенного метода наряду с получением конечного практически значимого результата - выбора минимаксно-оптимального управления - позволяет получить обширную информацию о структуре множества Парето ценность этой информации заключается в том, что сопоставление минимаксно-оптимального управления с другими элементами множества Парето является инструментом оценки качества этого [c.146]
Независимо от того, принимается ли традиционный подход или Л5С-метод, мы можем рассматривать процесс распределения накладных затрат как последовательность действий, каждое из которых приближает результат к конечной цели — калькуляционной единице. Следует также подчеркнуть, что независимо от методологии распределение накладных затрат всегда предполагает определенный элемент неточности. Самое лучшее, на что можно рассчитывать, — это получить приемлемый результат, минимизируя такую неточность. [c.153]
Даже не оставляющий надежды на благополучный исход прогноз посткризисного развития не отменяет рационального подхода к построению последовательности действий корпорации перед угрозой банкротства. Такие рациональные действия называются стратегиями выхода. Выход из отрасли ставит перед корпорацией задачу минимизировать ущерб. Это достигается рассмотрением и анализом альтернатив действий по изъятию инвестиций или выкупом предприятия у собственников. Рассмотрим рекомендации по проведению этих операций. [c.216]
Последовательная реализация конкурентного преимущества, основанного на низкой себестоимости продукции, требует согласования объема реализации с требованиями минимизации себестоимости производимой продукции. Очевидно, что максимальный эффект от увеличения объема продаж вследствие снижения цен можно достичь только при таком объеме продаж, который минимизирует полные затраты на единицу продукции. Проиллюстрируем данное положение на примере автомобильного бизнеса. [c.158]
Появление заданий при технологическом процессе обработки данных является случайным, но при решении задачи по программе должны быть учтены и минимизированы связи решаемой задачи с другими функциональными задачами, оптимизирован процесс обработки по ресурсному и временному критериям. Поэтому составной частью процедуры организации вычислительного процесса является планирование последовательности решения задач по обработке данных. [c.77]
В вычислительной системе чаще всего ресурсы используются последовательно. Поэтому на основе матрицы Т можно выделить последовательность прохождения через обработку задач, которая минимизирует суммарное время. Одним из методов нахождения такой последовательности, т. е. планирования, является метод решения задачи Джонсона [38], относящийся к теории расписаний и дающий эффективный и строгий алгоритм. При этом учитываются следующие ограничения [c.79]
Если в процессе обработки данных используется п устройств (ресурсов) ВС, нахождение оптимальной последовательности поступающих на решение m задач, минимизирующих суммарное время обработки, потребует перебора (т )" вариантов. Например, если в ВС поступило всего 6 заданий (ш=6), использующих всего 2 ресурса (и=2), то для нахождения оптимальной последовательности после составления матрицы Т потребуется произвести (б )2 переборов, т.е. 518400. Если же w=10, то потребуется порядка 1013 переборов. Ясно, что даже для ЭВМ это многовато. [c.79]
Последовательная архитектура первых ЭВМ была продиктована их чрезвычайной дороговизной. Это позволяло обойтись минимумом аппаратуры, минимизировать издержки вычислений. Машинные ресурсы всячески экономились, и всю заботу о составлении алгоритмов и переводе их в машинные коды брали на себя люди. [c.13]
Очень сомнительно, что когда-либо инвестирование станет наукой. Но при этом благодаря обучению, исследованиям и накоплению опыта инвестирование превратилось в профессию. Здесь профессия обозначает структурированный, последовательный и упорядоченный процесс, не связанный, впрочем, жесткостью концепций или методов. Такой процесс минимизирует воздействие эмоций, когда рынок пребывает на пике подъема или в низшей точке спада. Иными словами, инвестирование должно осуществляться системным образом. Поскольку инвестиционная среда крайне динамична, для инвестора не может существовать единственного или постоянного решения относительно отдельной ценной бумаги или портфеля. Богатства и рыночные оценки отдельных компаний и даже целых отраслей могут меняться заметно и порой очень быстро. Поэтому для постоянного владения покупаются только самые необычные ценные бумаги. Вспомните по показателям роста и прибыльности производство стали было одной из ведущих отраслей в США. Но в период с 1982 по 1986 г. сумма совокупных убытков восьми крупных интегрированных производителей стали в США превысила 14 млрд дол. [c.18]
По теореме Арцела из такой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, и предельный комплекс ( ), / <>, / ,.. ., , ) считать решением вариационной задачи. Однако этим дело не кончается неясен вопрос о необходимых условиях типа принципа максимума для этого решения ведь все выкладки 5 были проведены на некоторой обычной траектории (и(-), ( ) Это очень неприятное обстоятельство прежде всего для тех численных методов, которые основаны на прямом использовании принципа максимума. На первый взгляд оно не очень существенно для большинства приближенных методов решения вариационных задач, которые принципа максимума не используют (точнее, используют его негативную формулировку), а состоят в построении минимизирующей последовательности управлений. Однако это не так, и позже мы дадим более подробные разъяснения по этому поводу (см. стр. 197). [c.85]
Третье направление, имеющее, видимо, наибольшую литературу, связано с построением минимизирующей последовательности управлений. В книге оно отражено наиболее полно. Это связано как с естественностью выбора именно управления в качестве независимого аргумента, так и с тем, что разработанный и применявшийся в расчетах автором метод относится именно к этому направлению. Здесь есть свои сложности, особенно при решении задач с фазовыми ограничениями (с функционалами, не имеющими производных в смысле Фреше), однако читатель сможет убедиться, что они преодолимы, хотя дело это и]не совсем простое. [c.109]
Итак, приемы 2—4 в общем случае не позволяют строить минимизирующую последовательность управлений. Некоторые заведомо не оптимальные ситуации являются тупиковыми для этих методов, поэтому доказать их сходимость, не вводя каких-то существенных усовершенствований, в принципе нельзя. Однако не следует думать, что используя такие приемы, нельзя получить достаточно точные приближенные решения. Ведь тупиковыми для этих методов построения Ьи (t) являются далеко не все неоптимальные траектории м ( ), х ( ) . Не исключена возможность добраться до оптимальной траектории, так и не встретив по пути тупиковой. В частности, успех возможен, если процесс поиска происходит, так сказать, прямолинейно если на каком-то этапе поиска в какой-то точке t в условии-неравенстве типа (66) реали- [c.163]
Принципиальная схема метода. Основной элемент построения минимизирующей последовательности управлений — это конструкция малого конечного возмущения управления и (t), с помощью которого осуществляется переход от данного управления и (t) к улу чшенному и (t) + ц (t). [c.164]
Построение минимизирующей последовательности управлений обычно так или иначе использует производные от входящих в задачу функционалов. Поэтому значительные трудности связаны с решением тех задач, в постановку которых входят функционалы, не имеющие производной Фреше, но все же дифференцируемые в смысле Гато (по направлениям). К таким функционалам приводят обычно конструкции типа [c.338]
Минимизирующие последовательности. Пусть функционал /(м) ограничен на М снизу. По определению нижней грани найдутся последовательности и из Jit такие, что/(м ) - ] прии- °°. Они называются минимизирующими последовательностями. [c.80]
Рассматривается задача синтеза оптимального управления для нелинейного объекта с аффинно входящими управлениями в условиях вырожденности. В качестве развития метода, связанного с минимизацией ФОР, предлагается исходную невырожденную задачу АКОР преобразовать в вырожденную задачу синтеза оптимального управления и осуществлять поиск решения на основе подходящей субоптимальной стратегии, в том числе и построения минимизирующих последовательностей, поинтервально сходящихся к оптимальному процессу исходной задачи. Для вырожденной задачи АКОР получены необходимые и достаточные условия существования оптималыюго решения. [c.98]
Усиление контроля за ходом реализации планов на современном этапе практически означает последовательный переход от пассивной, формально-статистической фиксации расхождений между плановыми и отчетными показателями к активному воздействию на ход выполнения плана, с тем чтобы непрерывно направлять развитие экономики в плановое русло, минимизируя возможные (вызванные иногда объективными обстоятельствами) отклонения. Осуществление столь сложной задачи требует глубокого анализа функционирования экономики, своевременного выявления проявляющихся позитивных и негативных тенденций, расчета на основе соответствующих прогнозных моделей потенциально возможных отклонений от траектории планового развития народного хозяйства. Опираясь на эту научно-аналитическую работу и знание фактического положения дел на местах, плановые органы смогут обеспечить выработку эффективных рекомендаций о конкретных способах и путях воздействия на ход экономических процессов с целью приведения их в соответствие с плановыми. Преобразование системы контроля за выполнением плана в указанном выше направлении имеет очень важное, принципиальное значение в общем комплексе мер по совершенствованию планирования, повышению его действенности и эффективности. Большую роль в этом деле призваны сыграть также принятые в 1981 г. директивными органами меры по повышению роли Госплана СССР в системе государственного управления, по включению в соста этого комитета руководителей ряда центральных органи. заций, приданию ему ряда законодательных функций возрождению института Уполномоченных Госплан СССР по важнейшим экономическим районам Востокг страны. [c.22]
Рассмотрим одну простую задачу этого типа, так называемую-задачу Джонсона. Постановка задачи состоит в следующем имеется технологическая липия из п станков, через которую необходимо пропустить m деталей таким образом, чтобы минимизировать время обработки всего комплекта деталей. Последовательность обработки всех деталей одинакова и определяется порядком станков (т. е. каждая деталь обрабатывается поочередно на первом, втором, третьем и последующих станках). Каждая деталь характеризуется временем ее обработки на каждом станке Ту (г = 1,. ... .., п j = 1,..., иг), где i — номер детали, / — номер станка. Составить расписание в данной задаче — значит определить порядок-запуска деталей на каждом из станков технологической линии. Из-за того, что время обработки т для разных деталей различно, время обработки комплекта деталей в значительной степени зависит от порядка их запуска, поскольку в процессе обработки детали могут находиться в очереди в ожидании станка, а станок через некоторое время может оказаться незагруженным из-за отсутствия деталей. [c.179]