Дискретный принцип максимума получается почти по такой же схеме, но вместо дифференциальных уравнений в выкладках участвуют их разностные аппроксимации. И вот здесь появляется упомянутое реальное следствие дискретной теории разностное уравнение для сопряженного уравнения является следствием того или иного выбора аппроксимаций для прямого уравнения и для интеграла в тождестве Лагранжа. Разностная аппроксимация уравнения в вариациях также однозначно определяется выбором аппроксимации исходного уравнения, но это не так важно, так как в вычислительных методах обычно это уравнение не интегрируется. Эту аппроксимацию сопряженного уравнения "мы будем называть согласованной с аппроксимациями исходного уравнения и интеграла в том смысле, что для конечно-разностных решений Sz и ф, полученных по согласованным аппроксимациям соответствующих уравнений, алгебраически точно выполняется тождество Лагранжа (тоже в соответствующей аппроксимации). Это и есть то единственное практическое следствие, которое автор смог извлечь из теории дискретного принципа максимума и которого в своих вычислениях никогда не использовал ни в явной, ни в неявной формах. Автор всегда выбирал для исходного и сопряженного уравнений независимые аппроксимации, причем сопряженное обычно интегрировалось более грубо, с большим шагом по времени. Дело в том, что использование согласованной > аппроксимации связано с определенными техническими неудобствами, необходимость преодоления которых не очевидна. Во всяком случае, автору неизвестны трудности численного решения задач оптимального управления, которые можно было бы преодолеть, используя согласованную аппроксимацию. Чтобы и здесь быть более конкретным, можно все же указать на некоторое следствие использования согласованной аппроксимации. Речь идет о получении минимума функционала с большим числом знаков. Используя для вычисления функциональной производной функцию < >, найденную по произвольной аппроксимации сопряженного уравнения, мы, разумеется, находим не точную производную, а лишь приближенную, искаженную влиянием ошибок аппроксимации. Поэтому получить минимум с очень большой точностью не удастся начиная с некоторого этапа минимизации (например, методом градиента в функциональном пространстве) мы будем в этом случав [c.54]
Исключение вариаций зависимого переменного Ьх (t) из полученных выражений для ЬР. Для этого используется тождество Лагранжа в обычной форме [c.62]
Пусть возмущенная траектория x (t) -j- ж (i) пересекает J = 0 в момент -f-8 (пока для определенности будем считать Тождество Лагранжа запишем в виде [c.70]
Для того чтобы осуществить стандартное исключение вариации Ъх, нужно в тождестве Лагранжа ликвидировать лишнее слагаемое ф8а +s. Это приведет к разрыву функции ф (t) в точке t с опре- [c.70]
Из тождества Лагранжа получаем соотношение т i г f+h [c.75]
Тождество Лагранжа, справедливое д-ля любой пары вектор-функций x(t), ф( ), удовлетворяющих условиям Г8ж = 0, Г ф — О (в дальнейшем мы будем рассматривать только такие пары) [c.98]
Взяв в тождестве Лагранжа (6) ф и заменив в нем Lbx — правой частью (5), получим ч [c.99]
Заменяя в тождестве Лагранжа левые части уравнений (5) и (9), получим [c.100]
Теорема Филиппова 86 Теория регуляризации 357 Терминальная задача 319 Тождество Лагранжа 18, 32, 70, 98, [c.486]
Здесь Р [t] и ц [t] — матрицы 1 -> 4, вычисление которых очевидным образом определяется прямым варьированием исходной системы уравнений. Вводя в дополнение к четырехмерной вектор-функции
Критическая точка (x.0(Q,x,0(Q,A,°(Q) функции Лагранжа, удовлетворяющая системе (12) и взятая без последней координаты (множителя Лагранжа) X°(Q, т.е. точка (xta(Q,x2u( )), и есть решение задачи (7), ( 1 1 ) максимизации выпуска при данных фиксированных издержках производства С. Подставив точку (х,°(С),(.х20(С)Л0(О) в первые два уравнения системы (12), получим два тождества. Поделив почленно первое тождество на второе, получим, очевидно, выражение (3) (множитель Лагранжа Х°( С) сократится). Получили аналитическое обоснование того, что в точке (х,°(С),х20(С)) изокванта и изокоста касаются (см. рис. 1 1.6). Вообще говоря, критическая точка функции Лагранжа, взятая без последней координаты, не обязана быть решением задачи (7), (1 1) на условный максимум. В случае же производственной функции Л, ,, ), удовлетворяющей определенным требованиям гладкости и выпуклости, критическая точка функции Лагранжа (без последней координаты) есть решение задачи (7), (11) на условный экстремум. Отметим также, что в случае производственной функции Л, , ) х,°(С)>0, x2°( )>0, Х°(С)>0. [c.189]