Векторы значений объясняющих переменных, или столбцы матрицы плана X, должны быть линейно независимыми, т. е. ранг матрицы X — максимальный (г (Х)=р+ ). [c.86]
Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов, через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы). [c.267]
Совокупность п линейно независимых векторов n-мерного пространства R" называется базисом. [c.270]
Разным собственным значениям матрицы соответствуют линейно независимые собственные векторы. [c.272]
Для обеспечения приемлемой точности аппроксимации опорные планы Ajl должны быть линейно независимыми и число их должно быть не меньше размерности векторах. [c.20]
Число п есть порядок определителя D, Число г называют рангом матрицы А, если найдется по крайней мере один определитель r-го порядка, полученный из этой матрицы при удалении некоторых строк и (или) столбцов, отличный от нуля, а все определители (г+1)-го порядка равны нулю. Ранг матрицы равен наибольшему числу линейно независимых столбцов (или строк). [c.254]
Общая задача линейного программирования не всегда имеет решение. Из теории систем линейных уравнений известно, что система (103) имеет единственное решение, если число линейно независимых уравнений г равно п. Если в этом решении хотя бы один ж,-<С 0, то оно недопустимо если все ж,- 0, то это решение допустимо и оптимально, так как оно единственно. Если число линейно независимых уравнений г меньше п и система (103) совместна, она имеет бесчисленное множество решений. При этом (п — г) переменным можно придавать произвольные значения (свободные переменные), а остальные выразятся через них (базисные переменные). [c.179]
Набор векторов (2.7) действительно образует линейно независимую сис- так как ранг матрицы, составленной из этих векторов, равен т. [c.61]
Число уравнений системы (2.10) равно т. Вследствие линейной независимости произвольного набора из т - 1 векторов, полученного из е1,..., eJ у, eJ+1,..., ет удалением какого-то одного вектора, для отыскания фундаментальной совокупности решений системы неравенств (2.8) достаточно просмотреть ненулевые решения каждой подсистемы из т - 1 уравнений системы (2.10) При этом среди них следует отобрать векторы, удовлетворяющие системе линейных неравенств (2.8). [c.62]
Любая подсистема из т - 1 векторов системы е е2,..., ет,у является линейно независимой. Следовательно, искомая фундаментальная совокупность решений системы линейных неравенств (3.6) содержится среди (одномерных) ненулевых решений подсистем из т - 1 уравнений системы линейных уравнений (3.7). [c.86]
Система (4.4) содержит /и + 1 линейное уравнение, причем любая подсистема из т - 1 векторов набора е s e / /, f , У, у", У, участвующих в образовании этой системы, является линейно независимой. Поэтому для отыскания общего решения системы линейных неравенств (4.3) достаточно просмотреть (одномерные) ненулевые решения всех возможных подсистем системы (4.4), получающихся из (4.4) удалением каких либо двух ее Уравнений. При этом найденные таким способом решения должны Удовлетворять системе неравенств (4.3). [c.101]
В системе (4.10) /л уравнений. Любая подсистема из т - 1 вектора системы векторов е1,..., ек х, у, ек+],..., ет является линейно независимой. Поэтому для отыскания фундаментальной совокупности решений системы линейных неравенств (4.9) достаточно найти по одному ненулевому решению каждой из подсистем системы (4.10), получающейся из (4.10) удалением какого-то одного из ее уравнений (при этом найденное решение должно удовлетворять системе неравенств (4.9)). [c.107]
В системе (4.24) имеется т уравнений. Любая подсистема из т - 1 векторов системы е],. .., ек у, ек+],..., ет линейно независима. Поэтому для отыскания фундаментальной совокупности решений системы неравенств (4.23) достаточно найти по одному ненулевому решению каждой из подсистем системы уравнений (4.24), получающейся из (4.24) удалением какого-то одного уравнения (при этом все найденные решения должны удовлетворять системе неравенств (4.23)). [c.121]
Двумерное векторное пространство полностью описано двумя линейно независимыми векторами (ЛНВ). Поэтому каждый дополнительный вектор v можно изобразить как линейную комбинацию ЛНВ. [c.135]
Сначала мы концентрируем внимание на требования в момент времени t = 1. Так как в этом моменте времени существуют две ситуации, нам необходимы две рыночные ценные бумаги с линейно независимыми денежными потоками. Первой бумагой, естественно, является бескупонная облигация, второй титул представляет собой безрисковое денежное вложение по существующей сегодня ставке процента г0 = 0.05. Поэтому [c.260]
Искомую формулу оценки можно найти, если уяснить для себя, что после включения дивиденда ничего не изменилось в других допущениях модели. Решающую роль играет тот факт, что рынок капитала с двумя моментами времени и с двумя ситуациями является полным, если на нем обращаются две рыночные ценные бумаги (акция и облигация) с линейно независимыми друг от друга денежными потоками. В этих условиях можно однозначно рассчитать цены примитивных ценных бумаг (при 7г для случая, при котором курс акции повышается, и при ка для случая, при котором он снижается) и мы можем использовать уравнение оценки [c.279]
Чтобы суметь дать свободную от предпочтений оценку валютного опциона пут, нам необходим полный рынок капитала. Он дан, так как в момент времени t = 1 мы имеем дело с двумя ситуациями ( вверх и вниз ) и при этом обращаются два финансовых титула с линейно независимыми друг от друга денежными потоками, а именно отечественное (безрисковое) и иностранное (рисковое) инвестирование. На этой основе и при имеющихся здесь условиях можно однозначно определить цены Эрроу—Дебре и использовать их при работе с уравнением оценки [c.282]
Обсуждаемый здесь рынок капитала, без сомнения, является полным, так как мы имеем дело, с одной стороны, с тремя ситуациями, а с другой — с тремя рыночными ценными бумагами, денежные потоки которых линейно независимы. Линейная независимость подтверждена, так как в противном случае определители матрицы денежных потоков в предыдущей части задачи приобрели бы нулевое значение, и мы не были бы в состоянии определить эквивалентный портфель. Но для наличия рынка, свободного от арбитража, нужно большего все цены Эрроу—Дебре должны быть положительными. Имеем ли мы дело с этим случаем или нет, нужно еще исследовать. Для этой цели рассчитаем соответствующие цены из системы уравнений [c.288]
Метод главных компонент применяется в двух целях. Первая -г- это уменьшение размерности данных с многих до нескольких переменных. Это достигается путем определения групп первоначальных переменных таким образом, чтобы члены группы обладали корреляцией между собой, но группа в целом была бы линейно независима от других переменных или групп переменных. Линейно независимые группы переменных называются главными компонентами. [c.301]
Существует множество ситуаций в финансовой практике, когда желательно определить наиболее важные переменные или линейно независимые комбинации переменных, которые делают наибольший вклад в уровень риска. В нашем примере портфеля из двух активов будут только две компоненты. Однако в большом портфеле из N переменных будет N главных компонент. Некоторые из компонент будут обладать высокой корреляцией с другими, так что подгруппа в целом будет влиять на степень риска независимо от влияния других переменных или групп переменных. Метод главных компонент позволяет нам определить эти независимые линейные комбинации переменных и их влияние на совокупную дисперсию. Мы, таким образом, получаем более полное представление о том, что влияет на уровень риска и, следовательно, получаем возможность лучше управлять рисками. [c.301]
Мы должны найти собственные векторы, потому что они дают нам линейно независимые комбинации переменных — главные компоненты, которые влияют на совокупную дисперсию. Мы должны найти собственные значения, потому что они показывают, за какую долю совокупного риска отвечает каждая главная компонента. [c.302]
Если можно подобрать такие не равные нулю числа а и Р, что аа + Р6 = 0, то векторы а и b называются линейно зависимыми. Причина этого ясна с помощью полученного равенства можно выразить, напр., вектор а через вектор Ь. Это значит, что а зависит от Ъ. Можно обобщить это определение и на произвольное число векторов если существуют такие отличные от нуля числа а,,..., а N, что Хая, = 0, то векторы называются линейно зависимыми, если же такая система чисел отсутствует, то линейно независимыми. [c.169]
Линейно независимые векторы 169 [c.471]
Действительно, для выполнения условия а) существует в свою очередь необходимое условие если g] и g2 линейно независимы, то определитель Грамма [c.73]
Во-первых, если это условие выполняется, то функции могут и не быть линейно-независимы, во-вторых, это условие трудно проверяется. [c.73]
В случае агрегированного представления производственной мощности возможен и иной способ построения области допустимых планов. В данном случае нам требуется набор линейно независимых (с различной структурой выпуска) исходных планов (вариантов). Тогда любой допустимый план можно получить как линейную комбинацию исходных планов путем их взвешивания с долями в качестве весов. Это позволяет компактно, одним ограничением представить объект, без описания его внутренних подробностей. Последнее дает существенные преимущества при моделировании взаимоотношений экономических объектов различных уровней. [c.39]
Задача линейного программирования (2.7), (2.10), (2.9) с дополнительными ограничениями на неотрицательность переменных tt имеет размерность я + т. При этом число базисных переменных в случае линейной независимости системы ограничений (2.8) равно числу ограничений, т. е. т, а число свободных переменных совпадает с числом неизвестных в линейной форме (2.7), т. е. равно п. Обозначим через с значение целевой функции в форме (2.7). [c.67]
Число переменных Хд в ТЗ с m поставщиками и я потребителями равно /и , а число уравнений в системе (2.13) — (2.14) равно m+n. Так как мы предполагаем, что выполняется условие (2.16), то число линейно независимых уравнений равно /и+и—1. Следовательно, опорный план ТЗ может иметь не более m+n— 1 отличных от нуля неизвестных. [c.483]
Рассмотрим задачу имеется /Ш-н I - мерное линейное многообразие Mw- > определяемое системой линейно независимых уравнений [c.31]
Линейное пространство Щназывается n-мерным, если в нем существует п линейно независимых векторов, а любые из (я+1) векторов уже являются зависимыми. Иначе, размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов, т. с. dim(R") = п. [c.270]
Столбцы матрицы называют линейно независимыми, если из -того, что au + k2a.i2 +. .. + Knain = Q при всех значениях =1,. .., т, следует Xi =. ..= W = 0. Аналогично определяется линейная независимость строк. [c.253]
Введем в рассмотрение набор единичных ортов е е2,..., е" пространства Rm s-я компонента вектора es равна единице, а все остальные — нулю, s — 1,2,..., т. Обозначим через Мвыпуклый конус (без нуля), порожденный набором линейно независимых ) векторов [c.61]
Теорию арбитража формально можно изобразить через лемму Минковского—Фаркаша. Эта теорема разделения содержит четкие критерии для различения между рынками капитала с существованием и без существования возможностей арбитража. Характерным для свободы от арбитража является существование ценового вектора как линейной комбинации линейно независимых векторов. Если этой линейной комбинации не существует, то возможны арбитражные прибыли. Мы хотим изобразить лемму графически и вынуждены для этой цели провести некоторую подготовительную работу . Первая задача — познакомиться с необходимыми аспектами векторной алгебры. На основе этого мы соединим формальные выводы леммы с уже полученными знаниями из обоих предыдущих разделов этой главы. [c.133]
Признаком свободы от арбитража является существование ценового вектора как положительной линейной комбинации линейно независимых векторов. Для объяснения экономического содержания леммы Минковского— Фаркаша мы проинтерпретируем ЛНВ в качестве возвратных потоков обеих ценных бумаг при вступлении в силу определенной ситуации. Мы говорим о возможности арбитража, если выполнены одновременно два векторных уравнения. Первое связывает структуру арбитражного портфеля с ЛНВ. Второе связывает рыночные цены и структуру портфеля. Для того чтобы можно было изобразить содержание леммы при помощи данных из табл. 3.1, мы сперва определим 2 х 1-вектор структуры портфеля1 [c.136]
НЕВЫРОЖДЕННАЯ МАТРИЦА [non-singular matrix] — квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля ее столбцы линейно независимы (см. Линейная зависимость векторов). Квадратная матрица обратима тогда, и только тогда, когда она невырожденная. [c.219]
РАЗМЕРНОСТЬ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА [dimensionality of ve tor-spa e] — максимальное число линейно-независимых векторов в векторном (линейном) пространстве (см. Линейная зависимость векторов). Если это число конечно, то пространство называется конечномерным (многомерным). В противном случае — бесконечномерным. Пример конечномерного векторного пространства — множество возможных планов цеха из ст. "Вектор". Размерность этого пространства равна 4. Точки на прямой действительных чисел образуют одномерное пространство. [c.298]
Замечание. Очевидно, что в точках (s, t) границы параллелепипеда Р ранг матриц B (s, t) и 5+(s, t) зависит от 5, t и меняется от 0 (B+(s, t) = 0 на нижней границе DO B (s,t] = 0 на верхней границе DI) до п (B (s, t) = —Е, B+(s, t) = Е соответственно на DQ и DI), причем rankS (5, t) = rankB (s, t) + rankS+(s, t). На боковой границе G ранги матриц B (s, t) и 5+(s, t) совпадают с числом линейно независимых комбинаций B (s, t)x и 5+(s, t)x. При этом линейные комбинации B (s, t)x соответствуют уходящим с поверхности О внутрь параллелепипеда Р характеристикам (термин из [Годунов, 1979]) и закрепляются граничными условиями (4.4.5) (и тем сильнее , чем выше ранг матрицы B (s, t)), а линейные комбинации B+(s, t)x соответствуют приходящим на поверхность О изнутри параллелепипеда Р характеристикам и формируют терминальную часть функционала (4.4.7). [c.337]
Кроме того, здесь и всюду ниже, где учитывается более одного функционального ограничения на etjj, предполагается их линейная независимость, /Два ограничения линейно независимы, если одно из них умножением на некоторое число нельзя приравнять второму. При большем числе ограничений признак такой если одно из ограничений можно выразить в виде суммы других, умноженных на постоянные коэффициенты, то вся система линейно зависима/. [c.38]