Дифференцируя равенство (12.9) по вектору /3 (приложение Л А, п. 19), получаем векторное уравнение правдоподобия [c.326]
Проделав необходимые вычисления, можно показать, что (векторное) уравнение правдоподобия выглядит так [c.339]
Уравнение правдоподобия, 536 Уравнения в отклонениях, 36 [c.575]
Параметры уравнения определяются методом наименьших квадратов. Этот метод не является, конечно, единственным способом определения искомых параметров производственной функции (возможен, например, метод максимального правдоподобия или метод экспертных оценок). Однако метод наименьших квадратов наиболее разработан и, пожалуй, самый обоснованный из математико-стати-стических приемов обработки исходной информации. С помощью этого метода и решена наша конкретная задача. [c.85]
Если случайные величины Е, имеют нормальное распределение, то уравнение (8.34) может быть оценено методом максимального правдоподобия (см. 2.7). Так как в случае нормального распределения ошибок регрессии оценки максимального правдоподобия совпадают с оценками метода наименьших квадратов, на практике применение этого метода к модели (8.15) сводится к нелинейной задаче минимизации по а, р, у и Р функции [c.205]
Отметим также следующее обстоятельство. Если остатки ряда модели подчинены процессу скользящей средней, уравнение с нормально распределенными ошибками будет содержать бесконечное число лагов переменной Y. Коэффициенты при них убывают в геометрической прогрессии, и можно ограничиться несколькими первыми членами. В этом случае метод максимального правдоподобия практически равносилен нелинейному методу наименьших квадратов. [c.205]
Первые два уравнения не только удивительным образом согласуются со значениями параметров соответствий, но они также идут в унисон с результатами, полученными ранее, по фондовому рынку и пузырям на валютных рынках, в частности в отношении значения экспоненты т2. Правдоподобие соответствию с самой изощренной формулой придает то, что, несмотря на сложность формы, мы получаем значения для двух пересекающихся временных шкал Г/ и Т2, которые превосходно соответствуют тому, что ожидается от классификации и данных за 9-летний интервал. Более подробный и технический разбор можно найти в [213]. [c.272]
В дальнейшем используются следующие обозначения Xt, xt, Zt, ztr q, v — зависимая и независимая переменные при отсутствии и наличии ошибок измерения, ошибки измерения в этих переменных и 1 ы<2> d2> — остаточные возмущения и белый шум в уравнениях для временных рядов и для временных рядов перекрестных выборок М, s2, л(1>, я(2), 2W, 2(2) — математическое ожидание, выборочная дисперсия, остаточные ковариационные матрицы и ковариационные матрицы коэффициентов в уравнениях для временных рядов и временных рядов перекрестных выборок N(0, s2), гг, Т, п, К, Е, i, ML — обозначение нормального распределения, коэффициент остаточной марковской автокорреляции первого порядка, количество наблюдений временного ряда и выборочного обследования, число независимых переменных, единичная матрица и единичный вектор, обозначение оценки наибольшего правдоподобия. [c.73]
При v = q — 0 для уравнения (1) — (3) это получается следующим образом [16, стр. 25 — 27]. Положим S D = 1, так что 2(1) = (1 — г 1. Тогда функция правдоподобия будет иметь вид [c.75]
Вернемся теперь к уравнениям (1) — (3) при q Ф О, и =/= 0. Поскольку оценки наибольшего правдоподобия в этом случае трудно получить и для обычной регрессионной модели, единственным выходом остается, как кажется, применение техники спецификации ошибок к оценкам наибольшего правдоподобия Blf, я 1 ""1 шага 3, считающихся теперь известными. В этом и будет состоять шаг 4, который складывается из двух частей — получения оценок с их статистическими характеристиками и выполнения окончательного прогноза. [c.78]
Следовательно, шаг 4 заключается в вычислении (50), (53), (59) — (60). Таким образом, для регрессионных уравнений первого порядка с запаздывающей переменной продолжение итеративного процесса от первичных обобщенных оценок наименьших квадратов приводит к асимптотическим оценкам наибольшего правдоподобия, а последующее применение техники оценки ошибки спецификации дает возможность получить оценки и доверительные интервалы прогноза также и при наличии ошибок в переменных. [c.80]
Указанный тип уравнения — единственный, для которого может быть построен алгоритм нахождения оценок максимального правдоподобия и точечного прогноза (см. [16, 24 — 25]). Однако и для этого вида уравнений неприменимы методы ковариационного анализа (см. [16]), а экспериментальные оценки методом Монте-Карло в [24] привели к заключению о наибольшей пригодности двухшагового метода обобщенных наименьших квадратов. Но фактические вычисления [25] — правда, по более сложным типам моделей — не подтвердили в столь категорической форме этого вывода. С другой стороны, как следует из анализа аналогичной проблемы для регрессионных уравнений с текущими значениями переменных [16], двухшаговые процедуры даже в этом более простом случае не приводят хотя бы к асимптотическим оценкам наибольшего правдоподобия. [c.81]
Полученные из системы нелинейных уравнений (72) Ва = р" < ], V. "sf(2> подставляются в (67)—(68), (70). Эти Ъ8, , s <2) и будут асимптотическими оценками наибольшего правдоподобия, которые и подставляются в (61) для получения точечного прогноза. [c.82]
Для упрощения вычислений функцию правдоподобия иногда логарифмируют. Так как логарифм является монотонной функцией, то L и In /, достигают экстремума при одних и тех же значениях переменных. Наиболее эффективные оценки числовых характеристик, следовательно, могут определяться из совместного решения уравнений [c.102]
Существуют две формы оценки максимального правдоподобия — максимальное правдоподобие полной информации и максимальное правдоподобие ограниченной информации. Последнее является методом одиночного уравнения, а первый метод — многофакторный и его мы опишем в этом разделе. [c.365]
Оценка параметров регрессии по методу наименьших квадратов — то же самое, что и оценки по методу максимального правдоподобия, если остатки уравнения регрессии нормально распределены. Таким образом, удобно демонстрировать метод максимального правдоподобия на примере оценок МНК. [c.366]
Эти уравнения являются уравнениями регрессии по методу наименьших квадратов, таким образом мы показали, что решение регрессии с использованием МНК будет решением по методу максимального правдоподобия, когда остатки уравнения МНК нормально распределены. [c.368]
Вторую группу составляют методы, использующие полную информацию о системе, т. е. о строении ее уравнений и о степени их стохастической зависимости. Наиболее известными представителями этой группы являются трехшаговый метод наименьших квадратов, рассмотренный в 14.4.3, и метод максимального правдоподобия. Между оценками, получаемыми при помощи этих методов, существует тесная взаимосвязь 3 мнк-оценки можно рассматривать в качестве первого приближения оценок метода максимума правдоподобия, по определению минимизирующих функцию плотности распределения наблюдений (в предположении, что они распределены по нормальному закону). Более того, указанные оценки асимптотически эквивалентны. [c.423]
ФУНКЦИЯ ОЦЕНОЧНАЯ — это форму ла либо процедура, с помощью которой производится оценка статистических величин (к примеру, дисперсия переменной) либо параметров уравнения. В качестве примера подобного рода эконометрических функций можно привести метод максимального правдоподобия с полной информацией и метод наименьших квадратов. [c.726]
Опенка / i максимального правдоподобия для параметра / i определяется как корень уравнения [c.195]
Определите точечные оценки коэффициентов линейного уравнения регрессии методом максимального правдоподобия, методом моментов. Сравните результаты с МНК. [c.111]
Учебник содержит систематическое изложение основ эконометрики и написан на основе лекций, которые авторы в течение ряда лет читали в Российской экономической школе и Высшей школе экономики. Подробно изучаются линейные регрессионные модели (метод наименьших квадратов, проверка гипотез, гетероскедастичность, автокорреляция ошибок, спецификация модели). Отдельные главы посвящены системам одновременных уравнении, методу максимального правдоподобия в моделях регрессии, моделям с дискретными и ограниченными зависимыми переменными. [c.2]
Наряду с методом наименьших квадратов (МНК) возможен и другой подход к оцениванию параметров линейного регрессионного уравнения по данным наблюдений — метод максимального правдоподобия. Этот метод будет рассмотрен детально в главе 10. В данном разделе мы рассмотрим его применение к оцениванию параметров парной регрессии. [c.55]
Решением системы уравнений (2.37а)-(2.37в) являются оценки максимального правдоподобия [c.57]
Рассмотрим модель Yt a+f X + t, где ошибки являются независимыми одинаково распределенными нормальными случайными величинами. Почему для оценивания параметров нельзя применять метод наименьших квадратов Выведите уравнение для оценок максимального правдоподобия. [c.59]
Коэффициенты уравнения (11.20) можно оценить при помощи метода максимального правдоподобия (п. 10.5), который легко применяется здесь, так как ошибки некоррелированы. [c.271]
Дано п = п + П2 + пз наблюдений переменных х и у. Известно, что для щ наблюдений у = 1 и х = 1, для П2 наблюдений у = 0 и х = 1, для п3 наблюдений у — 0 и х = 0. Покажите, что как для logit-, так и для probit-модели, уравнение правдоподобия не имеет решения. [c.352]
И лишь оценивание параметров квадратичных форм функции общей полезности делает задачу более сложной, поскольку возникает необходимость построения системы уравнений, аналогичной (11.7.4) за ряд лет, и оценивание параметров этих уравнений по методу наименьших квадратов (методу максимального правдоподобия) и иным двух- и трехшаговым вычислительным процедурам. И хотя показанный метод обладает рядом существенных недостатков, его сравнительная простота делает его широкоиспользуемым [129.242] в прикладных статистических исследованиях. [c.248]
Метод максимального правдоподобия рассматривается как наиболее общий метод оценивания, результаты которого при нормальном распределении признаков совпадают с МНК Однако при большом числе уравнений системы этот метод приводит к достаточно сложным вычислительным процедурам. Поэтому в качестве модификации используется метод максимального правдоподобия при ограниченной информации (метод наименьшего дисперсионного отношения), разработанный в 1949 г. Т.Андер-соном и Н.Рубиным. Математическое описание метода дано, например, в работе Дж.Джонстона1. [c.194]
В скобках указаны стандартные ошибки параметров уравнения регрессии. Применение метода инструментальных переменных привело к статистической незначимости параметра С[ = 0,109 при переменной yf . Это произошло ввиду высокой мультиколлинеарности факторов, иyt v. Несмотря на то что результаты, полученные обычным МНК, на первый взгляд лучше, чем результаты применения метода инструментальных переменных, результатам обычного МНК вряд ли можно доверять вследствие нарушения в данной модели его предпосылок. Поскольку ни один из методов не привел к получению достоверных результатов расчетов параметров, следует перейти к получению оценок параметров данной модели авторегрессии методом максимального правдоподобия. [c.328]
Шестая часть посвящена оценкам максимального правдоподобия, которые, конечно, являются идеальным объектом для демонстрации мощи развиваемой техники. В первых трех главах исследуется несколько моделей, среди которых есть многомерное нормальное распределение, модель с ошибками в переменных и нелинейная регрессионная модель. Рассматриваются методы работы с симметрией и положительной определенностью, специальное внимание уделено информационной матрице. Вторая глава этой части содержит обсуждение одновременных уравнений при условии нормальности ошибок. В ней рассматриваются проблемы оценивания и идентифицируемости параметров при различных (не)линейных ограничениях на параметры. В этой части рассматривается также метод максимального правдоподобия с полной информацией (FIML) и метод максимального правдоподобия с ограниченной информацией (LIML), особое внимание уделено выводу асимптотических ковариационных матриц. Последняя глава посвящена различным проблемам и методам психометрики, в том числе методу главных компонент, мультимодальному компо- [c.16]
Теперь займемся задачей оценивания системы одновременных уравнений, предположив, что имеющихся ограничений достаточно для идентифицируемости. Для получения оценки максимального правдоподобия структурных параметров (В , FQ, 1о) нужно максимизировать логарифмическую функцию правдоподобия (2.11) с учетом априорных и идентифицируемых ограничений. Такой способ оценивания известен как метод максимального правдоподобия при полной информации (FIML) 1. Поскольку для нахождения FIML-оценок приходится оптимизировать нелинейную функцию, реализация этого метода может оказаться довольно сложной вычислительной задачей. [c.422]
Теоретически мы должны раскрыть уравнение (П.7.17) для получения точного выражения компойентов е выраженных в тех же параметрах, и отсюда построить и максимизировать функцию правдоподобия. На практике это было бы довольно сложно и эффективнее будет использовать для достижения этого матричную алгебру. Для этого был разработан порядок Йохансена. [c.370]
Для оценивания произвольных систем одновременных уравнений в настоящее время имеется довольно значительное количество методов, которые делятся на две группы. К первой группе относятся методы, применимые к каждому уравнению в. отдельности двухшаговый метод наименьших квадратов (2 мнк), метод максимума правдоподобия с ограниченной информацией, называемый также методом наименьшего дисперсионного соотношения [46] или методом Комиссии Коулса [80], и некоторые другие. Вторая группа содержит методы, предназначенные для оценивания всей системы в целом. Это методы максимума правдоподобия и трехшаговый метод наименьших квадратов (3 мнк). Несколько особняком стоят итеративные методы, или методы неподвижной точки, которые обладают определенными вычислительными достоинствами, что немаловажно при исследовании систем большой размерности, однако статистические их свойства изучены в недостаточной степени. [c.415]
Отметим, что оценки максимального правдоподобия параметров а, 6 совпадают с оценками метода наименьших квадратов OML = SOLS, ML OLS- Это легко видеть из того, что уравнения (2.37а) и (2.376) совпадают с соответствующими уравнениями метода наименьших квадратов (2.2). Оценка максимального правдоподобия для <т2 не совпадает с
Здесь ut = t — Ae -i- Уравнение (11.9) линейно по комбинациям параметров, через которые эти параметры можно выразить. Однако (11.9) содержит лагированную эндогенную переменную и ошибки, не удовлетворяющие условиям классической модели линейной регрессии. Поэтому можно показать, что МНК-оценки коэффициентов уравнения являются несостоятельными. Для получения состоятельных оценок можно применить метод инструментальных переменных (п. 8.1), взяв, например, Xt— в качестве инструмента для yt-i, или воспользоваться методом максимального правдоподобия (глава 10). [c.268]