На короткое время долг может поддержать производство. Выдача долга одному рабочему увеличивает спрос на товары, поэтому капиталист нанимает другого рабочего, чтобы удовлетворить этот спрос, зарплата этого второго вызывает спрос на третьего и так далее. Но каждому последующему рабочему достаётся всё меньше и меньше денег и работы. Это -сходящаяся последовательность, стремящаяся к нулю. Когда новые кредиты перестают выдавать, вся цепочка останавливается, а многие должники заканчивают банкротством. [c.193]
Рис.6-10 - это недельный график Чикагских фьючерсов на пшеницу (Чикагская товарная биржа ). После вершины на отметке 6.45, цены в течение четырех лет выписали коррекцию А-В-С с отличным соотношением подвели. Волна В - сходящийся треугольник. Пять крайних точек в совершенстве соответствуют образующим линиям. Хоть и в несколько необычной манере, но подволны треугольника развиваются как отражение Золотой спирали, с каждым отрезком соотносящимся с другим в пропорции Фибоначчи (с = 0.618 b d = 0.618 а е = 0.618 d). Типичный ложный прорыв происходит около конца последовательности, хотя в этот раз он заканчивается не подволной е, а подволной 2 волны С. Кроме того, падение волны А приблизительно равно 1.618 от длины подволны а волны В и от длины волны С. [c.112]
В этом случае система будет обладать следующим свойством какое бы начальное значение в интервале от 0 до 1 ни было взято, полученная в результате последовательность цен будет не сходящейся, а будет испытывать внешне случайные колебания без видимой пе- [c.76]
Воспользуемся теперь произвольностью выбора функций 1 и определением 3.2 сильного обобщенного решения. Тогда можно указать последовательность ф1 , ф1 G f(Pi), G G ( 2)9 сходящуюся в смысле (4.4.13) к обобщенному решению следующей начально-краевой задачи [c.343]
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае — расходящейся. [c.45]
Теорема 1 дает возможность находить сходящиеся последовательности, но не дает возможности вычислять их пределы. Для вычисления пределов используются другие теоремы. Приведем здесь три из них. [c.48]
Действия над сходящимися последовательностями [c.50]
Сформулируем теоремы о действиях над сходящимися последовательностями, которые очень часто облегчают нахождение пределов. [c.50]
Определение. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм — этот предел называется суммой ряда в противном случае ряд называется расходящимся. [c.54]
Определение 1. Число 6 называется пределом функции /(ж) в точке ж = а, если для любой последовательности ж , сходящейся к а (хп 6 (/), хп а при любом п), последовательность соответствующих значений функции у = /(жп) сходится и ее предел равен 6. [c.56]
В (148] и 306] условия оптимальности решения стохастических задач с фиксированным функциональным видом априорных решающих распределений использованы для построения адаптивных алгоритмов вычисления набора а искомых параметров распределения. При некоторых предположениях можно доказать, что такие итеративные алгоритмы, основанные на идеях стохастической аппроксимации, позволяют по последовательным реализациям случайных параметров условий задачи получить последовательность векторов ап, сходящуюся к оптимальному [c.144]
Очевидно, что все функции из L2(4, Т) имеют конечную норму в ЯМ. Пространство ЯМ представляет собой расширение La, полученное добавлением к L2 всех пределов сходящихся по норме ЯМ последовательностей из 2. [c.303]
Норма предела слабо сходящейся последовательности не превосходит предела норм элементов последовательности [c.321]
Пусть теперь х — какое угодно вещественное число, хп — последовательность рациональных чисел, сходящаяся к х. Так как f(x) предполагается непрерывной, [c.604]
Для задач оптимального управления естественным является замыкание, порождаемое следующим определением сходящейся последовательности траекторий (и(1г ( ), х(1с) ( ) , где и ( ) — измеримая функция, а ж(й) ( ) — порожденная ею фазовая траектория. Такую последовательность называют сходящейся в себе, если при любом s > 0 для всех достаточно больших чисел , q > К (е) выполнены соотношения [c.84]
Следствием этого является существование предельной фазовой траектории х (t) и предельных значений всех входящих в постановку задачи функционалов. Таким образом, сходящейся последовательности траекторий управляемой системы соответствуют некоторая фазовая траектория х (t) (она почти всюду имеет производную и удовлетворяет краевым условиям задачи Г (х)=0) и значения функционалов F( (i=0, I,.. ., т). Рассмотренный выше пример показал, что мы можем столкнуться, по крайней мере, с тремя ситуациями [c.84]
Последовательность q сходится к точке q, из последовательности glt 2,. .. можно выбрать сходящуюся к некоторому вектору g подпоследовательность (чтобы не осложнять обозначений, будем считать g -> ) Переходя к пределу по г -> со, получим для каждой точки q( Q неравенство [c.372]
Сходящаяся в себе последовательность траекторий 84 [c.486]
Доказательство. Возьмем исчезающую (т.е. убывающую и сходящуюся к нулю) последовательность ег >е2>...>е >..,>0и обозначим 7 99 [c.99]
О п ределение. Последовательность элементов z t, z3, . . . метрического пространства z называется сходящейся в себе, если по любому е > О найдется такое N, что при т, п > N имеет место р (z , zn) < е. [c.108]
Теорема. Для того чтобы метрическое пространство z было вполне ограниченным, необходимо и достаточно, чтобы из любой последовательности его элементов можно было выбрать сходящуюся в себе подпоследовательность. [c.108]
Пусть et > е2 >. . . > еп >. . . - сходящаяся к нулю последовательность положи- [c.108]
Доказанная теорема выявляет однотипность понятия полной ограниченности пространства и его компактности в компактном пространстве из любой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, а во вполне ограниченном пространстве — лишь сходящуюся в себе подпоследовательность. Очевидно, всякое компактное пространство является вполне ограниченным. [c.109]
Доказательство. Пусть xlt х2,... — последовательность стратегий игрока 1, сходящаяся к его стратегии XQ во внешней топологии. Тогда в силу предположения о непрерывности функции Н при любому у должно быть [c.117]
Но множество всех таких смешанных стратегий составляет компакт (он является подмножеством компакта Х"+1). Поэтому из последовательности Х1, Х2,. . . можно выделить сходящуюся подпоследовательность с пределом Х0. [c.139]
Исследование существования минимизирующего элемента. Теоремы существования представляют обобщения на бесконечномерный случай теоремы о том, что непрерывная на замкнутом ограниченном множестве М функция достигает на нем своих нижней и верхней граней. Анализ этой теоремы показывает, что основные заложенные в ней конструкции — это понятие сходимости элементов в Л, понятие непрерывности функции (функционала) на М и структура множества М множество JH должно обладать следующим свойством - из любой бесконечной последовательности элементов можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к элементу из Л. [c.80]
Понятие непрерывности функционала (функционал непрерывен в точке MO, если для любой последовательности и , сходящейся к м0, /( ) -> /(м0))> так же как и указанное свойство множества Jit (его называют компактностью), связано с тем, как введено понятие сходимости, или, что то же, как задана топология на М. [c.80]
Пусть м6 - 0 при е -+ 0, и для любой последовательности 1м ), сходящейся к м = 0, существует равный нулю предел [c.132]
Предел этой последовательности равен +оо или —оо, поскольку, если это не так, то можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, и минимум будет достигаться в конечной точке, что несовместимо с предположением 2). [c.48]
Работа Бунке [45] дает основания для различных обобщений стохастической аппроксимации. В [45] приведена общая схема построения случайной последовательности, сходящейся к данному числу. Используя частные варианты этой схемы, удается получить случайные последовательности, аппроксимирующие медиану функции распределения, корень уравнения f(x)=a, максимум функции f(x), где f(x)- — однозначно определяемая медиана случайной величины у (со, х). [c.351]
Если уравнение (14.38) имеет несколько корней, то точное значение, являющееся пределом порождающейся алгоритмом последовательности приближенных значений, зависит от начального приближения у0. Для различных начальных приближений один и тот же алгоритм может порождать последовательности, сходящиеся кразным пределам. Более того, при некоторых начальных значениях порождаемая после- [c.604]
Теорема 4.1. Последовательность Q(Xh) сходится к оптимальному значению целевой функции детерминированной задачи, эквивалентной двухэтапной стохастической задаче линейного программирования. Последовательность лг/J содержит сходящуюся подпоследовательность. Каждая сходящаяся подпоследовательность из Xh сходится к оптимальному предварительному плану х двухэташюй стохастической задачи. [c.190]
Все эти последовательности в силу условия (б) ограничены постоянными, не зависящими от s. Согласно теореме Больцано — Вейерштрас-са из них можно выбрать сходящиеся подпоследовательности. Будем для простоты обозначать их теми же индексами [c.320]
Ограниченные множества в гильбертовом пространстве слабокомпактны. Отображение Р— > не меняет нормы. Это значит, что в силу допущения (б) последовательности P(s) (t), z=l,..., п ограничены вместе с последовательностями
Естественно возникает вопрос нельзя ли из последовательности траекторий (и( с) ( ), o (f ) ( ) выделить сходящуюся в том илияном смысле подпоследовательность, и предел последней и ( ),, ж ) считать решением вариационной задачи Ответ оказывается разным для и (t) и для фазовой траектории х (t). [c.82]
По теореме Арцела из такой последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, и предельный комплекс ( ), / <>, / ,.. ., , ) считать решением вариационной задачи. Однако этим дело не кончается неясен вопрос о необходимых условиях типа принципа максимума для этого решения ведь все выкладки 5 были проведены на некоторой обычной траектории (и(-), ( ) Это очень неприятное обстоятельство прежде всего для тех численных методов, которые основаны на прямом использовании принципа максимума. На первый взгляд оно не очень существенно для большинства приближенных методов решения вариационных задач, которые принципа максимума не используют (точнее, используют его негативную формулировку), а состоят в построении минимизирующей последовательности управлений. Однако это не так, и позже мы дадим более подробные разъяснения по этому поводу (см. стр. 197). [c.85]
Доказательство. Рассмотрим последовательность полученных описанной выше процедурой точек х°, х1,. . ., xk,. . . . Пусть сходимости з к х нет. Тогда из я можно выделить сходящуюся к некоторой точке х= =х подпоследовательность. Рассмотрим шаг процесса, начинающийся в точке х х -ь-х1, причем в силу ограниченности вторых производных и невырожденности отображения при малых s, [c.380]
Достаточность. Пусть пространство z не является вполне ограниченным, т.е. при некотором е > 0 в нем не найдется конечной е-сети. Будем индуктивно строить последовательность элементов z следующим образом. Возьмем zl е z произвольно. Пусть элементы zl, . . . , zk уже построены. Обозначим через zk объединение их е-ок-рестностей zk Ф г (ибо иначе точки zx, . . . , zk составили бы конечную е-сеть в z), и мы можем взять z k+i е z zk. В построенной последовательности z t, z 2, . . . каждый член отстоит от любого из остальных более чем на е, так что никакой сходящейся в себе подпоследовательности из нее выделить не удастся. D [c.109]
Поэтому в компактной игре из каждой последовательности смешанных стратегий моркно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу, также являющемуся смешанной стратегией. [c.114]
Возьмем сходящуюся к нулю убывающую последовательность б > 62 > >... >е >... >0и найдем по каждому п = 1, 2,. . . е -седловую точку (ХП9Уп). [c.115]
До казательство. Разрывность ограниченной функции у в точке z0 означает, что найдется такая сходящаяся к z0 последовательность zl, z2,. . ., что [c.119]
Легко проверить, что предположение о непрерывности функционала можно ослабить и потребовать лишь его полунепрерывности снизу. Функционал называется полунепрерывным снизу в точке м0, если для любой сходящейся к и0 последовательности (ип), для которой сходится последовательность /(и ) , [c.81]