Дифференциальное исчисление — метод поиска оптимального решения через вычисление производных оптимизируемой функции. Для отыскания экстремума (максимума, минимума) функции одной переменной J(x) необходимо найти решение уравнения [c.119]
Эта система уравнений задает две функции одной переменной [c.225]
Как было отмечено, экономические модели описывают взаимосвязи экономических переменных. Часто эти зависимости выражаются в виде функций. Говорят, что задана функция одной переменной / если по определенному правилу каждому числу х из некоторого множества А ставится в соответствие единственное число у из множества В. [c.34]
Функция одной переменной [c.45]
Пусть ф, — строго возрастающая числовая функция одной переменной, заданная на всей числовой оси, т. е. [c.72]
Не следует рассматривать эффективность качества как функцию одной переменной". [c.329]
Счетные таблицы представляют собой совокупность упорядоченных результатов однажды выполненных расчетов. Наибольшее распространение имеют таблицы функций одного переменного. Таковы, например, таблицы обратных чисел, квадратов чисел, логарифмов, тригонометрических функций, цилиндрических функций и т. д. [c.438]
Доказательство. Пусть ф — выпуклая функция, определенная на выпуклом множестве S С Rn, и пусть ф — возрастающая функция одной переменной, определенная на множестве значений ф. Пусть также г](х) = ф[ф(х)]. Тогда [c.112]
В этой главе мы распространим понятия одномерного дифференциального исчисления функций (т. е. анализа вещественных функций ф 1R, —> R) на многомерные функции из Rn в Rm. Обобщение вещественных функций одной переменной на вещественные функции многих переменных гораздо важнее, чем обобщение вещественных функций на векторные функции. В большинстве случаев векторную функцию можно рассматривать как вектор размерности т, состоящий из вещественных функций. Тем не менее, как вскоре будет видно, есть достаточно веские основания рассматривать именно векторные функции, а не просто вещественные функции. [c.114]
Пособие удовлетворяет требованиям новых государственных образовательных стандартов к минимуму содержания и уровню подготовки в области математики для социально-экономических направлений и специальностей и написано в соответствии с примерной программой дисциплины Математика , одобренной Научно-методическим советом по математике Министерства образования Российской Федерации. Пособие включает следующие девять разделов программы Введение в математический анализ , Основы математической логики , Дифференциальное исчисление функций одной переменной , Применение дифференциального исчисления для исследования функций и построения их графиков , Неопределенный интеграл , Определенный интеграл , Функции нескольких переменных , Обыкновенные дифференциальные уравнения , Системы обыкновенных дифференциальных уравнений . Кроме обязательного материала автор счел необходимым включить в пособие главу, посвященную разностным уравнениям, широко используемым в экономической теории. [c.9]
В экономике многие зависимости могут быть заданы как функции одной переменной у = f(x]. [c.94]
Как и функцию одной переменной, функцию двух переменных можно представить не только графически, но и аналитически и в виде таблицы. [c.280]
Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного двух функций, выведенные для функций одной переменной, справедливы и для функций двух переменных. Таким образом, имеют место следующие теоремы. [c.283]
Как и производной функции одной переменной, частным производным функции двух переменных также можно придать геометрический, механический и экономический смыслы. [c.286]
Поскольку определение частной производной вполне сходно с определением производной для функции одной переменной, теоремы о производных соответствуют и частным производным функции двух переменных. [c.286]
Так как частная производная по любой переменной является производной по этой переменной, найденной при условии, что другая переменная постоянна, то правила дифференцирования функций одной переменной применимы для нахождения частных производных двух переменных. [c.286]
При изучении функций одной переменной было введено понятие определенного интеграла. Оно определялось как предел интегральных сумм. [c.300]
Что означают эти неравенства Напомним, что если вторая производная положительна, то график функции одной переменной является выпуклым вниз, а если вторая производная отрицательна, то график направлен выпуклостью вверх. Знак второй производной величины показывает рост или убывание предельной величины. Если вторая производная производственной функции (одной переменной) положительна, то эффективность ресурса растет, если отрицательна, эффективность падает. [c.344]
Вычисление суммарных приведенных затрат сводится к нахождению минимума функции двух переменных /у и t . Наиболее приемлемым способом решения поставленной задачи является метод динамического программирования, предусматривающий пошаговую оптимизацию. Приемом оптимизации минимизация функции двух переменных ty, tB сводится к двум последовательным задачам — минимизации каждый раз функции одной переменной. Минимум приведенных затрат определяет оптимальный срок перехода к усилению пропускной способности. [c.202]
Все функции одной переменной с постоянной эластичностью имеют вид (8) (воспользоваться равенством (4)). [c.569]
Выпуклые функции одной переменной [c.572]
ВЫПУКЛЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО [c.117]
До настоящего времени мы рассматривали функции одной переменной. В финансах, как и во многих других областях экономики, одна переменная очень часто является функцией нескольких других переменных. Когда мы дифференцируем такую функцию только по одному из ее аргументов, мы вычисляем частную производную. [c.152]
Прибыль, получаемая на i-м предприятии р( в соответствии с условием независимости процессов (положение 3) является функцией одной переменной PJ ( Ve. фп р ). [c.66]
Пример 1. Возьмем множество ЛС функций одной переменной, дифференцируемых на отрезке [0, а], и рассмотрим на Л, функционал [c.75]
Минимум функционала E(u)—L(u) можно искать последовательно, отыскивая сначала минимум вдоль каждого луча и = v, а затем минимум по сфере E(v) = 1. Отыскание минимума вдоль луча сводится к минимизации функции одной переменной X2 - XL (v). Здесь использовано, что /Г(Хи) = X2. Минимум равен — %( , (о))2. Минимизация этого выражения по v эквивалентна максимизации линейного функционала L(v) на единичной сфере [c.82]
Максимум функции я(гХ4)находится как максимум функции одной переменной Г, поэтому оптимальное значение Топт должно удовлетворять уравнению [c.139]
Проф. Пигу согласен с тем, что в пределах известного интервала наемный труд фактически часто требует вовсе не определенной реальной заработной платы, а определенной денежной заработной платы. Но в этом случае функция предложения труда зависит не только от F((х), но также и от денежной цены товаров, приобретаемых на заработную плату. Тогда весь предшествующий анализ теряет силу и возникает необходимость ввести добавочный фактор, между тем как для нахождения этого неизвестного нет добавочного уравнения. Нельзя лучше продемонстрировать ловушки, которые таит в себе псевдоматематический метод, применимый только при условии представления любого явления в виде функции одной переменной и при предположении, что все частные производные обращаются в нуль. Положение нисколько не исправляется тем, что где-то на более поздней стадии признают существование других переменных и все-таки продолжают развивать аргументацию дальше, не потрудившись переписать заново все, что было написано до этого момента. Если наемный труд (в определенных пределах) требует именно известной денежной заработной платы, тогда даже при условии, что п = х+ у, у нас все равно не хватит данных, если мы не знаем, чем же определяется денежная цена товаров, приобретаемых на заработную плату. Ведь денежная цена этих товаров будет зависеть от общей величины Поэтому мы не можем сказать, какова будет общая занятость, пока [c.119]
В функции двух переменных, соответственно, независимых переменных две, а не одна, как в случае функции одной переменной у — f(xi, Х2) — функция двух переменных X и Х2- Если число переменных xj,. .., х равно п (п > 1), то получаем функцию и переменных у — f(xi,. .., х ). Часто в экономике переменные должны быть неотрицательными xj > 0,. .., х > 0. Влияние одной переменной, напомним, можно исследовать, считая все прочие переменные неизменными (что и выражает правило "при прочих равных условиях" — eteris paribus). [c.36]
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ [diffe-rentiable fun tion] — функция, имеющая в каждой точке области, на которой она определена, полный дифференциал, а в случае функции одного переменного — производную. [c.92]
СКАЛЯР [s alar] — величина, каждое значение которой может быть выражено одним (как правило, действительным) числом по отношению к вектору, который можно рассматривать как многомерную величину, С. — величина одномерная. Скалярная (числовая) функция одной переменной записывается fix) скалярная (числовая) функция п переменных (при п > 1) записывается [c.330]
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ [extremum] — термин, объединяющий понятия максимума к минимума функции. На простейшем примере функции одной переменной можно пояснить эти исключительно важные для экономики математические понятия (рис. Э.4). [c.424]
Понятие частного дифференцирования сводит обсуждение действительных функций многих переменных к одномерному случаю, поскольку при частном дифференцировании функции fi считаются функциями одной переменной. Частная производная Djfi — это производная функции fi по j-й переменной при фиксированных значениях остальных переменных. [c.123]
Вообще, функция двух переменных изображается в пространстве некоторой поверхностью (а не линией, как в случае функции одной переменной). Каждой паре чисел х и у соответствует точка Р(х у) плоскости Оху. В точке Р(ж, у] проводим прямую, перпендикулярную плоскости Ожу, и отмечаем на ней соответствующее значение функции z получаем в пространстве точку М с координатами ж, у, z, которая обозначается символом М(ж, у, z . Точки М, соответствующие разным значениям независимых переменных, и образуют некоторою поверхность в пространстве. Такая поверхность и есть геометрическое изображение функции z = /(ж, у). Например, геометрическое [c.279]
Фактическое вычисление (численное, например) производной Гато (10) существенно сложнее вычисления производных Фреше для функционалов, рассмотренных в 3 вычисление и использование последних требует однократного решения краевой задачи типа (3.8) и запоминания функции одного переменного ф (t). Для того чтобы работать с производной Гато, нужно вычислить и запомнить функцию двух переменных ф (t, t ). Вводя на М некоторую достаточно плотную конечную сетку t lt t z,.. ., t t, мы можем получить достаточно точную аппроксимацию производной Гато после /-кратного решения краевых задач типа (8), запомнив функции ф (t, t j), ф (t, t 2),.. ., ф (t, t t). Хотя эта процедура отпугивает своей громоздкостью, именно она использовалась автором в многочисленных расчетах в сочетании с некоторыми дополнительными приемами, этот подход позволил эффективно решить ряд сложных задач с функционалами типа (1), причем расход машинного времени был сравнительно невелик. Теперь обсудим одну нестрогость, допущенную в проведенном выше анализе. Речь идет о переходе [c.36]
Нашей ближайшей целью является распространение методики решения выпуклых игр на единичном квадрате на аналогичные игры, в которых множествами стратегий игроков являются подмножества конечномерных евклидовых пространств. В основе такого обобщения будет лежать тот факт, что можно говорить о выпуклых функциях нескольких переменных (или, что то же самое, - о выпуклых функциях от векторного переменного), причем как определение, так и основные свойства этих функций те же, что и для выпуклых функций одного переменного. [c.135]
Проф. Пигу согласен с тем, что в пределах известного интервала наемный труд фактически часто требует вовсе не определенной реальной заработной платы, а определенной денежной заработной платы. Но в этом случае функция предложения труда зависит не только от F (x), но также и от денежной цены товаров, приобретаемых на заработную плату. Тогда весь предшествующий анализ теряет силу и возникает необходимость ввести добавочный фактор, между тем как для нахождения этого неизвестного нет добавочного уравнения. Нельзя лучше продемонстрировать ловушки, которые таит в себе псевдоматематический метод, применимый только при условии представления любого явления в виде функции одной переменной и при предположении, что все частные производные обращаются в нуль. Положение нисколько не исправляется тем, что где-то на более поздней стадии признают существование других переменных и все-таки продолжают [c.700]