Осреднение периодических структур . Осреднение случайных структур

из "Вариационные принципы механики сплошной среды "

Независимость и от е означает, что для достаточно малых е характерный масштаб изменения функций и гораздо больше е, что согласуется с обычным представлением о средних характеристиках, используемом в физике. [c.369]
Задание функций а (у) означает задание реализации микроструктуры. Проблема осреднения заключается в описании реализаций или классов реализаций, для которых возможен переход от (9.1) к (9.2), и в построении функционала (9.2) по функционалу (9.1). [c.369]
Важный пример сред с микроструктурой — периодические структуры, у которых функции а (у) - периодические функции координат v. [c.369]
Функции а(у) определяются своими значениями в ячейке, а вне ее продолжаются по периодичности. Функция а(у) могут быть кусочно непрерывными, в частности на противоположных гранях ячейки В значения а (у) не обязательно совпадают. Важный случай кусочно непрерывных функций а (у) — кусочно постоянные функции, которые в некоторой подобласти А ячейки В (включении) принимают значение аг, а в В - А (матрице) — значение а (см. рис. 55, а, в х -пространстве при некотором малом но конечном е ячейке 55, а соответствует тело с микроструктурой, изображенной на рис. 55,6). [c.370]
В силу периодичности по у интеграл по Вп можно заменить на интеграл по В. [c.371]
Тогда поверхностный интеграл в (9.5) можно отбросить, и функционал примет вид (9.7). [c.371]
Дальнейшее существенно зависит от того, как устроены при е - 0 стационарные точки функционала (9.8). [c.372]
Разберем случай, когда стационарные точки функционала (9.8) являются константами (не зависят от у). Типичный лагранжиан, для которого это имеет место, — лагранжиан квазилинейного эллиптического уравнения Л = а (у, u)u,t utj с положительно определенной матрицей а 1. [c.372]
Для лагранжианов, обладающих указанным свойством, стационарные точки функционала (9.3) в первом приближении не зависят от быстрых переменных и = v(x). Функции v(x) пока произвольны. Они образуют множество Л0 в общей схеме вариационно-асимптотического метода. [c.372]
Обозначим значение функционала (9.14) в стационарной точке через Л. Величина Л есть функция и и и,-. [c.373]
решение проблемы осреднения заключается в решении задачи на ячейке - задачи о построении стационарной точки функционала (9.14). Осредненный функционал (9.16) восстанавливается по решению задачи на ячейке. [c.373]
При помощи формул (9.18) и (9.20), (9.22) можно строить двусторонние оценки Л. [c.375]
На вид окончательных формул (9.14) - (9.22) существенно повлияли два предположения 1) стационарные точки функционала (9.8) являются константами и 2) лагранжиан Л не зависит явно от е. Обсудим кратко, что получается при отказе от этих предположений. [c.375]
Если лагранжиан Л зависит явно от е, то при переходе от (9.13) к (9.14) сохранится зависимость от е функционала, и, следователь но, стационарной точки 1//. Поэтому может измениться порядок и к по е. [c.375]
Исследование подобных задач проводится по изложенной схеме, однако окончательные формулы зависят от конкретного вида лагранжиана. [c.375]
Осреднение случайных структур. Проведенное рассмотрение почти дословно переносится на случайные структуры. Начнем с определения средних по объему. [c.375]

Вернуться к основной статье