Накопительные модели в схеме простых процентов динамическая модель роста

из "Финансовая математика "

Одним из наиболее распространенных применений простых процентов являются так называемые накопительные, или сберегательные счета. Они относятся к более широкому классу счетов, вкладов или депозитов до востребования и, следовательно, не имеют определенного срока. Таким образом, вкладчик может изъять весь вклад или его часть в любое время. За эту возможность (или, как говорят, опцион) вкладчик платит снижением процентной ставки по сравнению со срочным депозитом, т.е. вкладом на конкретный срок. [c.136]
Хотя внешне накопительный вклад определяется как один контракт, т.е. как одна сделка, с формальной точки зрения ее можно рассматривать как потенциальный простой класс из бесконечного числа простых сделок. Пусть вкладчик открывает счет в момент времени /0 с начальной суммой St. Тогда любому 0, учитывая возможность изъятия вклада в этот момент времени, соответствует некоторая потенциально возможная срочная сделка с периодом [Y0, t]. [c.136]
Конечно, на практике это различие не стоит абсолютизировать. Так, даже для срочной сделки со сроком Тс кредитор (например, вкладчик) может досрочно расторгнуть сделку, так что реальная длительность сделки может быть меньше, чем 7 Возникает вопрос о величине возвращаемой суммы долга для этих условий. И в этом случае часто используется динамическая модель типа той, что была рассмотрена выше. [c.137]
Наконец, динамическая (накопительная) модель используется для определения так называемых накопленных процентов в сделках с упоминавшимися выше процентными бумагами, такими, как депозитные сертификаты, облигации и др. (см. гл. 2). Процентные бумаги имеют в качестве обязательных реквизитов номинальную стоимость (номинал) и процентную ставку, называемую в этом случае купонной. Выплата процентов или, как еще говорят, купонного платежа осуществляется эмитентом ценной бумаги во вполне определенные моменты времени, например для депозитного сертификата — это момент погашения, а для облигации — концы так называемых купонных периодов. Такие платежи можно рассматривать как выплату процентов по простой кредитной сделке с начальной суммой долга, равной номиналу ценной бумаги, и сроком, равным длине купонного периода. В этом случае говорят о выплате полного купона. Если же ценная бумага продается до погашения между купонными выплатами, то в цене продажи учитываются накопленные (по купонной ставке за период от последнего купонного платежа до момента продажи) проценты к номиналу ценной бумаги. Таким образом, покупатель ценной бумаги выплачивает продавцу, кроме номинальной стоимости ценной бумаги, накопленные проценты (неполный купон). Покупатель вернет эту сумму (накопленные проценты) при очередной выплате купонов. [c.137]
Заметим, что к счетам до востребования кроме накопительных счетов относятся также так называемые расчетные или текущие счета фирм и частных лиц. В отличие от накопительных счетов их цель состоит в осуществлении текущей деятельности, в постоянно возникающих расчетах, оплате товаров, услуг и т.п. Эти счета доступны в любое время как для перечисления, так и для снятия средств. Как правило. [c.137]
Наконец, отметим, что классический срочный вклад (срочный депозит) является примером простой кредитной сделки с заранее определенным сроком. Таким образом, теория простых процентов изучает все многообразие различных видов краткосрочных кредитных операций (сделок). [c.138]
Вернемся снова к формуле (3.3), описывающей динамику накопления. Заметим, что эта формула была получена в предположении, что период, по отношению к которому указывалась процентная ставка, т.е. — период начисления совпадает с единицей времени, например задается годовая процентная ставка и время измеряется в годах . Снимем теперь это ограничение и рассмотрим более общий случай. [c.138]
Определение нормированной ставки начисления вполне аналогично определению нормированной ставки сделки из предыдущей главы. Задание ставки начисления на практике обычно сопровождается явным указанием периода начисления, к которому она относится. Так, говорят о 10% в год, или 10% годовых, 5% в месяц и т.д. Соответствующая нормированная ставка также сопровождается указанием единичного периода, к которому она относится. Если шкала годовая, то нормированная ставка будет годовой. [c.139]
Рассмотрим пример накопительного счета. [c.139]
Определение 3.2. Ставки (А, /,) и (А2, /) называются эквивалентными, если порождаемые ими процессы накопления с одним и тем же начальным состоянием (в заданной временной шкале) тождественны, т.е. [c.140]
Таким образом, нормированная ставка /порождает семейство эквивалентных ей ставок начисления /д = hi. Так, в годовой шкале эквивалентными будут ставки (1, 12%), т.е. 12% в год, (1/2, 6%), т.е. 6% за полугодие, (1/4, 3%),т.е. 3% в квартал и (1/12, 1%),т.е. % в месяц. [c.140]
В этом случае нормированная ставка начисления совпадает с нормированной ставкой сделки. Более того, если, как сказано выше, накопительную модель интерпретировать статически как семейство СА, А 0 простых сделок h (см. гл. 2), то они составляют простой класс сделок с общей нормированной ставкой /, которая является процентной ставкой класса. Поэтому в дальнейшем при описании накопительных моделей в качестве ставки, определяющей динамику роста счета, будем использовать, как правило, нормированную ставку. [c.140]
Пример 3.2. Найти месячную ставку, эквивалентную простой годовой ставке, равной 10%. [c.140]
Заметим, что в аналогичных (3.8) по смыслу равенствах (2.2) и (2.3) наращенное значение St +Т было определено лишь для конца t t + Т периода [/0, /. ] сделки. Для внутренних точек этого периода, т.е. для /0 г t, значение Sr без предварительных соглашении определить нельзя. Здесь требуется введение дополнительных уточнений в модель. Необходимость такого рода уточнений может возникнуть, например, при досрочном расторжении сделки. В этом случае необходимо найти величину суммы долга, которую должен вернуть должник кредитору. [c.141]
Рассмотрим накопительную модель, задаваемую (3.3) - (3.5) и (3.8), более подробно. [c.141]
Вернемся теперь к соотношению (3.3) или, что то же самое, к уравнению (ЗЛО), описывающим динамику накопительного счета, и покажем, что процентная ставка /задает его относительную скорость роста. [c.142]
Таким образом, процентная ставка i действительно определяет скорость роста единицы вклада или, что то же самое, относительную скорость роста вклада (по отношению к начальной величине). [c.143]
Выше дана еще одна интерпретация нормированной процентной ставки дополнительно к двум ее толкованиям, приведенным в 2.2. Следовательно, подводя итог, можно сказать, что нормированная процентная ставка имеет три важнейшие интерпретации. Во-первых, она определяет (для должника) стоимость кредитных ресурсов на кредитном рынке. Во-вторых, для кредитора она характеризует доходность (эффективность) использования свободных (или привлеченных) средств. Наконец, в-третьих, в накопительных моделях она характеризует относительную скорость роста счета (вклада). [c.143]
Пример 3.3. Сумма У/ 1000 вкладывается в момент времени г() = 0 под 10% годовых а) на 2 года 6) 1 год, по истечении которого наращенная сумма вкладывается (реинвестируется) еще на 1 год. Найти для обоих случаев наращенную сумму S-, на конец 2-го юда. [c.143]
В заключение кратко остановимся на геометрической интерпретации, отражающей движение во времени накопительного счета. [c.143]

Вернуться к основной статье