Приращение величины, аргумента, функции. Скорость изменения функции

из "Математические методы в экономике Издание 2 "

Приращение величины, аргумента, функции. Пусть величина z меняется от значения zt (начальное значение) до значения (конечное значение). Тогда величина AZ — z - г, — z - z называется приращением величины г. Приращение возрастающей величины (z z, ,) будет положительно Аг 0, а приращение убывающей величины ( ач г ) будет отрицательно Дг 0. Если величина z не изменилась ( = z J, то ее приращение будет равно нулю AZ— 0. [c.48]
Глава 3. Основы дифференциального исчисления.. .. [c.49]
В этих терминах можно сказать, что функция fix) непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда приращение функции в точке х0 стремится к нулю, если приращение аргумента стремится к нулю. [c.49]
Скорость изменения функции на интервале (средняя скорость). [c.49]
Рассмотрим две функции, показанные на рис. 3.2. Значения каждой из них меняются при изменении аргумента на величину Дх = х - хв. Из рисунка видно, что вторая функция меняется (возрастает) сильнее, чем первая на интервале (х0 х). [c.49]
Для сравнения величин изменения различных функций при одинаковом изменении аргумента вводится понятие скорости (быстроты) изменения функции на интервале (х х) (средней скорости), определяемой, как отношение изменения функции, вызванного изменением ее аргумента, к соответствующему изменению аргумента. [c.49]
Недостаток такого определения скорости состоит в том, что эта скорость зависит не только от точки х0, относительно которой рассматривается изменение аргумента, но и от самой величины изменения аргумента, т.е. от величины интервала Дх, на котором определяется скорость. Для устранения этого недостатка вводится понятие скорости изменения функции в точке (мгновенной скорости). [c.50]
Скорость изменения функции в точке (мгновенная скорость). [c.51]
Для определения скорости изменения функции в точке J Q сближают точки х и х0, устремляя интервал Ах к нулю. Изменение непрерывной функции при этом будет также стремиться к нулю. При этом отношение, стремящегося к нулю изменения функции к стремящемуся к нулю изменению аргумента дает скорость изменения функции в точке х0 (мгновенной скорости), точнее на бесконечно малом интервале, относительно точки хд. [c.51]
Именно эту скорость изменения функции Дх) в точке х0 и называют производной функции Дх) в точке ха. [c.51]
Геометрический смысл скорости изменения функции в точке х0 (мгновенной скорости) в том, что она численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в точке х0. Это непосредственно следует из ее определения, поскольку при сближении точек з и х, точки пересечения графика функции прямой линией М0 и М также сближаются и сливаются в одной точке М0, в которой линия и касается графика функции. [c.51]

Вернуться к основной статье