Вопросы к главе

из "Математические методы в экономике Издание 2 "

Функция Лагранжа L(xt,x2,K) представляет собой сумму целевой функции (1) и функции ограничения (2), умноженной на новую независимую переменную X (называемую множителем Лагранжа), входящую обязательно в первой степени. [c.125]
Необходимое условие локального условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) в аналитической форме имеет вид. [c.125]
Другими словами, если (двумерная) точка (х,0,х20) есть точка локального условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2), то (трехмерная) точка (х,0 0, 0) - критическая точка функции Лагранжа. Отсюда следует, что для нахождения точек (условного) локального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) следует прежде всего найти критические точки функции Лагранжа, т.е. найти все решения системы уравнений (8). Далее критические точки функции Лагранжа следует укоротить , удалив из них последние координаты К. Затем каждую укороченную критическую точку необходимо проанализировать на предмет, является ли она в действительности точкой (условного) локального экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) или не является. [c.125]
Достаточное условие локального условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) здесь не приводится. При анализе укороченной критической точки обычно используют наглядные геометрические или содержательные (экономические) соображения. [c.126]
Отметим, что в некоторых задачах на условный экстремум, которые появляются в экономической теории, обычно укороченная критическая точка функции Лагранжа является на самом деле точкой условного локального (в действительности и глобального) экстремума функции (I) при наличии ограничения (2). [c.126]
Из первых двух уравнений вытекает, что -2х, = Я, = - 2хг, т.е. х, = j , откуда, используя третье уравнение, получаем, что х =х —Л/2. [c.126]
Таким образом, система уравнений (9) имеет единственное решение, т.е. дает единственную критическую точку функции Лагранжа (1/2,1/2,-1) (k°=-2xl°=-2 1/2=-1). Укороченная критическая точка (х.°,х2°)=(1/2,1/2) есть точка условного локального (также глобального) минимума функции (5) при наличии ограничения (6), ибо непосредственно проверяется, что при (x Xj) (х,0,х2°) и удовлетворяющей уравнению (6) справедливо неравенство ,, х2) Дх 0,х2°)=1/2. [c.126]
В случае общей задачи (3),(4) на условный экстремум функция Лагранжа имеет вид 1(х. хл, Я. Я. ) =У(, , ) + , ,(, , -, хя) +. .. + Я /х,,. .., х ), а система (8) переписывается в виде системы п + т уравнении с п + т неизвестными х. хп, Я. Хт. [c.126]
Критическая (п + /и)-мерная точка (х,°. хя°, Я,,0,. .. Ат°) функ -ции Лагранжа после операции укорачивания приобретает вид (х,°,. .., хя°) и-мерной точки. [c.126]
Теперь приведем необходимое условие локального условного экстремума функции (1) при наличии ограничения (2) в геометрической форме. [c.127]
Отметим, что фрагмент карты линий уровня целевой функции Дх,,. ), представленный на рис. 8.6, не типичен для экономической теории. [c.129]
Пример 1.1 (продолжение). Приведем аналог рис. 8.5 для задачи (5),(6) на условный экстремум (см. рис. 8.7). [c.129]
Множество всех допустимых решений задачи математического программирования (далее, для краткости, ЗМП) называется допустимым множеством этой задачи. [c.130]
Если ЗМП имеет хотя бы одно допустимое решение (т.е. ее допустимое множество не пусто), она называется допустимой, если ЗМП не имеет ни одного допустимого решения (т.е. ее допустимое множество пусто), она называется недопустимой. [c.130]
х20) Дх,,х2) (в случае задачи максимизации), У(х,°,х20) y(x,,x2) (в случае задачи минимизации). [c.131]

Вернуться к основной статье