Оценки оптимального плана. И,х смысл и применения

из "Математическое оптимальное программирование в экономике "

Задачи, в которых отыскивается максимум или минимум некоторой функции при наличии ограничений на переменные, объединяются общим названием — задачи математического программирования. Линейное программирование — это один из разделов математического оптимального программирования, изучающий способы отыскания максимума или минимума линейной функции при наличии линейных ограничений. Функция, максимум или минимум которой отыскивается, называется целевой функцией. Тот набор значений переменных, на котором достигается максимум или минимум, определяет оптимальный план, а всякий другой набор, удовлетворяющий ограничениям, определяет допустимый план. [c.8]
В силу этой гипотезы всякий план можно представлять себе в виде набора некоторого числа основных способов, примененных с различными интенсивностями. В ходе решения эти интенсивности определяются так, чтобы ограничения были удовлетворены, а целевая функция достигала максимума или минимума. [c.9]
После этой весьма общей и краткой характеристики приступим к обещанной конкретной задаче. [c.9]
На рис. 1 изображены исходные листы материала и выкраиваемые из них заготовки. [c.9]
Разумеется, эта задача настолько проста, что ее можно было бы решить и без специальной теории, попросту. Однако у нас она играет важную иллюстративную роль, позволяя разъяснить характер задач и основные приемы линейного программирования, поэтому изложим применительно к ней общий подход. [c.9]
Легко видеть, что каждый лист материала можно раскраивать различными более или менее удачными способами, получая, соответственно, больше или меньше различных заготовок. [c.9]
Те же самые способы раскроя может получить каждый без всякой математики, пользуясь лишь шаблонами, вырезанными по форме заготовок, здравым смыслом и терпением. Вопрос совсем не в этом. А вот какие из способов использовать и для какого числа листов их применить —это вопрос, при решении которого без математики не обойтись. Можно было бы, конечно, просмотреть всевозможные мыслимые варианты и выбрать наилучший, так сказать, применить грубую силу , но на этом пути придется встретиться с очень большим числом проб. [c.10]
Если бы заготовок было 20, а не 2, с ним не совладали бы и современные ЭВМ. [c.10]
Используя введенные обозначения, можно дать теперь такую математическую формулировку интересующей нас задачи. [c.10]
Таким образом, мы пришли к характерной задаче линейного программирования найти минимум линейной формы (функции) при линейных ограничениях. [c.11]
Сделаем следующее вспомогательное построение. [c.11]
Начертим прямоугольную систему координат ХОУ и каждому возможному раскрою поставим в соответствие точку, у которой координата х равна числу заготовок типа А, получаемых при этом раскрое, а координата у — числу заготовок типа В (рис. 3). [c.11]
Мы будем обозначать эти точки буквой М с индексом, равным номеру раскроя. Например, первому раскрою соответствует точка MI с координатами х =3, у = (см. рис. 3). [c.11]
Из всех осуществимых планов нас интересуют лишь те, для которых выполнено условие комплектности, т. е. отношение числа заготовок типа А к числу заготовок типа В соответствует заданному и равняется 2 (т. е. 800 400). Ясно, что геометрически эти планы изображаются точками, лежащими на луче N. Такие планы называются ассортиментными. Ассортиментному выпуску соответствует допустимый план (для которого выполнены все ограничения I и II). [c.12]
Искомое минимальное число листов материала L находится, например, из условия получения нужного числа заготовок А. [c.12]
Оптимальный план раскроя состоит в том, что 250 листов кроятся по первому раскрою (xj = 250), a 25 листов — по второму раскрою (х2 = 25). [c.13]
Если бы количество заготовок было больше двух, то такой графический способ решения оказался бы слишком сложным, практически трудно реализуемым, так как для изображения множества осуществимых планов потребовалось бы построить многогранник в многомерном пространстве. Для решения задачи в этих случаях на помощь приходят аналитические методы и, в частности, эффективный метод разрешающих множителей— оценок, особых показателей, характеризующих оптимальный план. [c.13]
Что же такое оценки Это некоторые расчетные цены для единицы каждого вида продукции и затрачиваемых производственных факторов (например, в данной задаче первой и второй заготовок, одного листа материала и т. п.), связанные с оптимальным планом, объективно обусловленные им. [c.13]

Вернуться к основной статье