Парето-оптимальные состояния экономики и теоремы благосостояния, дифференциальная характеристика оптимума

из "Методы микроэкономического анализа "

Везде в дальнейшем мы будем рассматривать только физически возможные состояния экономики, т.е. такие, для которых xi e JQ /i G /, yj G У,- Vj G J и выполнены материальные балансы (16). [c.17]
Парето-оптимальность означает, что нельзя найти Парето-улучшения, т.е. повысить благосостояние одного потребителя, не уменьшая благосостояния других. [c.17]
В справедливости замечания легко убедится прямо по определению. [c.17]
Предполагается, что читатель знаком с доказательством теоремы WE с Р, и обратной к ней, для экономики обмена (для непрерывных строго монотонных функций полезности и потребительских множеств Xi = 1R1+). Теперь займемся случаем с производством. [c.17]
Убедимся, что если рынок совершенен, то 1) равновесные планы потребления и производства Парето -оптимальны (невозможно фиаско рынка ), и 2) обратно любого Парето -оптимума можно достичь используя рыночный (ценовой) механизм, и не прибегая к другим средствам достижения согласованного состояния (типа переговоров, правил голосования, государственного регулирования производства и потребления и проч.) все Парето-оптимальные состояния достижимы различными распределениями исходной собственности. [c.17]
В частности, для локальной ненасыщаемости достаточно, чтобы в каждой точке Xi ф-я щ строго возрастала хотя бы по одному неотрицательному направлению Аж е М1+ (отсюда название ненасыщаемость ), а потребительское множество Xi всюду было неограничено сверху в смысе JQ = JQ + Rl+. [c.18]
Докажем 1-ю и 2-ю теоремы благосостояния для случая экономики распределения, оставив доказательства для экономики обмена и Эрроу-Дебре как упражнения, проводимые по той же схеме. [c.18]
Док-во ТБ1 для WE(d). Предположим противное есть другое допустимое состояние (х,у), лучшее в смысле Парето, то есть такое, что и(х) и(х]. Обозначим t G / того участника, для кого состояние х строго лучше щ(х) щ(х). [c.18]
Перейдем к доказательству того, что всякую Парето-оптимальную точку можно реализовать как равновесие подбором распределения доходов или собственности. [c.19]
Предположение 6 (ВЫПУКЛ). Для всех г I множества Xi выпуклы, а функции полезности щ вогнуты,16 т.е. Ui(tx + (1 — t y] tui(x] + (1 — t ui(y] для Vt [0,1] /x,y. Производственные множества Yj Vj выпуклы. [c.19]
Докажем теорему только для случая экономики распределения, оставив доказательства для экономики обмена и Эрроу-Дебре как упражнения. [c.19]
Покажем, что х — равновесие потребителей при р, d, т.е. решение задачи (9) при этих ценах и доходах. Бюджетное ограничение (12) выполнено. Взяв Vi = 1/Aj (используем AJ 0, (30)), заметим, что при ценах р = а множители Лагранжа / и точка оптимума Xi удовлетворяют соотношениям (10). Следовательно при выполнении предположения (ГРАД) для точки х выполнены необходимые условия первого порядка. При условиях (ВЫПУКЛ), (ГРАД) необходимые условия являются и достаточными условия экстремума, итак Xi e Xi(p,di) (i e /). [c.20]
Отметим, что для экономики Эрроу-Дебре в доказательстве необходимо еще проверить индивидуальную рациональность плана производства у, а также поделить совокупную собственность (гу, 7) так, чтоб индивидуальные доходы f3i(w,p, 7) равнялись найденным числам (pxi), то есть были точно достаточны для потребления х. Для этого достаточно поделить собственность пропорционально числам Qi = (рт /Е /рт-,-). [c.20]
Сутью теорем ТБ1—ТБ2 является то, что эта диф. характеристика оптимума для совершенных рынков совпадает с дифференциальной характеристикой равновесия поскольку цены для всех одинаковы, то отношение предельных норм замены двух товаров одинаково для всех участников и равно отношению цен. [c.20]

Вернуться к основной статье