Вычисление равновесий и Парето-оптимальных состояний, пример

из "Методы микроэкономического анализа "

Прежде всего, используя условие (15), по оптимизационным задачам вида (5) нужно построить функции (или отображения) спроса Л . Если множество JQ выпукло а функция цели строго вогнута, то Xi(p) окажется однозначной функцией. В экономике обмена эта функция однородна степени 0 по ценам р, поэтому цены можно произвольно нормировать, например, приняв р1 = 1, и искать только I — 1 равновесных цен р2,. ..,р1. [c.21]
Если для каждого продукта k есть желающий его участник г дщ/дх1 0, то естественно искать строгое равновесие, то есть такое, где все цена положительны и балансы (16) — равенства. Из балансов и функций спроса получаем систему I уравнений с I неизвестными Pi,. ..,pi, записываемую в векторной форме так Y i( i(p) — Wi) = 0. [c.21]
Эти уравнения окажутся линейно зависимы, поскольку умножая их на вектор цен получим тот же закон Вальраса (17), что и при суммировании по г бюджетов (6), выполняемых как равенства (при ненасыщаемости). Таким образом, можно решать систему любых I — 1 уравнений из набора, определяя I — 1 неизвестных равновесных цен р2.р1. Равновесные объемы спроса находим затем как х = Х(р). [c.21]
Другой (удобный графически) поход к нахождению равновесия, если выполнены соответствующие предположения, состоит в использовании дифференциальной характеристики равновесия и ТБ2 (равновесие должно лежать на Парето-границе). Получаем п х (I — 1) уравнений относительно неизвестных (pi,. ..,pi), (ж ,. ..,ж )/. Добавив к ним п бюджетных ограничений, получим ту же (разрешимую) систему уравнений, что и при первом способе. Этот путь особенно выгоден, когда предельная норма замещения на Парето-границе постоянна. [c.21]
Для экономики распределения и экономики с производством рассуждения аналогичны. Случаи неоднозначности спроса, граничные, и др. требуют дополнительных рассуждений, не слишком сложных. [c.21]
Проверив, что условия ТБ1, ТБ2 выполнены, найдем предельные нормы замещения первого блага на второе для внутренних точек Парето й (х)/й (х) = х /( х и й (х /и (х] = Зж / х. В Парето-оптимуме нормы равны друг другу, что дает уравнение х х = 9ж ж . Должны также выполняться материальные балансы х + х =4 и х + х = 4. Получаем уравнение Парето-границы х = 9ж /(1 + 2ж ). [c.21]
В равновесии предельная норма замещения для каждого потребителя должна быть равна отношению цен. Учитывая бюджеты и материальные балансы, получим равновесие х = (1,3), ж2 = (3,1),р = (1,1). [c.21]

Вернуться к основной статье