Вопросы и задачи

из "Финансовая математика "

Выше рассмотрены лотереи с двумя исходами выигрышем 100 долл. и статус-кво. Рассмотрим теперь более общие лотереи с п исходами , .п. Эти исходы неравноценны в системе предпочтений ЛПР. [c.154]
Априори ясно, что разные лотереи имеют для ЛПР разную ценность, поэтому на множестве всех лотерей возникает отношение предпочтения запись L L означает, что ЛПР предпочитает лотерею L лотерее L. Отношение предпочтения описано в 7.1. Главными свойствами предпочтения являются рефлексивность, транзитивность и совершенность. Рефлексивность означает, что L L для любой лотереи, транзитивность означает, что если Li L2 и L2 L3, то Li L3 и совершенность означает, что для любых двух лотерей LJ верно либо L L, либо L L. [c.154]
Многие исследователи признают, что это отношение предпочтения весьма зыбкое многие пары лотерей столь близки друг к другу, что ЛПР с большим трудом может выбрать из них лучшую. Трудность выбора лучшей лотереи усугубляет также их сложная природа — ведь можно построить составные лотереи сколь угодно высокого порядка. [c.154]
Пусть исходов всего два. Возьмём две простые лотереи Li=(Q,l 0,9) и L2=(Q,4 0,6). Теперь рассмотрим составную лотерею ( ь 0,3 L2, 0,7). По аксиоме сводимости эта составная лотерея эквивалентна простой (0,3 0,1+0,7 0,4 0,3 0,9+0,7 0,6)=(0,31 0,69). [c.155]
Продолжим рассмотрение примера 1. Припишем исходу 0 полезность 0, а исходу 1 — полезность 100. Найдем средние ожидаемые полезности всех трёх упомянутых лотерей двух простых Li=(Q,l 0,9) и L2=(Q,4 0,6) и одной составной ( ь 0,3 2,0,7). [c.156]
wi=100. Значит, (10=0,1 0+0,9 100=90 w(Zi)=0,4 0++0,6 100=60 поскольку по аксиоме сводимости составная лотерея эквивалентна простой (0,31 0,69), то ее средняя ожидаемая полезность равна 0,31 0+0,69 100=69. [c.156]
Решение. Полезность 4 для ЛПР равна м(4)=л/4=2. Полезность его капитала после выигрыша 12 долл. равна м(4+12)=4 после выигрыша 0 долл. м(4)=2 средняя ожидаемая полезность равна 0,5 4+0,5 2=3, что больше первоначальной. [c.156]
Следовательно, ему нужно участвовать в лотерее. [c.156]
А вот сколько ему можно заплатить за право участия в этой лотерее Обозначим эту плату а. Тогда а определяется из уравнения 0,5 (4—а+12)+0,5.(4—а)=2. И элементарные подсчеты показывают, что я=3,75. [c.156]

Вернуться к основной статье