Проксимальное отображение и его свойства

из "Введение в теорию, методы и экономические предложения задач о дополнительности "

Теорема 5.1. Пусть X — непустое замкнутое выпуклое подмножество Rn, F — непрерывное и монотонное отображение X в Rn. Тогда проксимальное отображение Tip определено и однозначно на всем Rn. [c.55]
Доказательство вытекает из сильной монотонности отображения в задаче (5.1). [c.55]
Изучим свойства проксимального отображения. [c.55]
Теорема 5.3. Пусть X — непустое замкнутое выпуклое подмножество Rn, F — непрерывное и монотонное отображение X в Rn. Если задача VI(X, F) разрешима и х — ее решение, то х — неподвижная точка проксимального отображения TIF. [c.56]
Доказательство. Достаточно подставить х в неравенство (5.1) вместо у и убедиться, что оно выполняется при х(у) = х. [c.56]
Теорема 5.4. Пусть X — непустое выпуклое замкнутое множество, отображение F X — Rn непрерывно и монотонно. Тогда процесс (5.2) сходится к х — некоторому решению VI(X,F), если только последние существуют. [c.56]
Заметим, что итерационный процесс (5.2) относится к разряду двухуровневых на каждой его итерации нужно решить вспомогательное вариационное неравенство, требующее своего, вообще говоря, бесконечного вычислительного процесса. Как и в методах второго порядка, мы опускаем здесь анализ влияния погрешности решения вспомогательной подзадачи на сходимость основного процесса. [c.57]

Вернуться к основной статье