Необходимые сведения из матричной алгебры

из "Экономико-математические модели и методы "

Методы матричной алгебры широко используются не только в нормативных экономико-математических моделях, но и в статистических расчетах с обработкой больших массивов информации. Матричное исчисление применяется при анализе отчетного межотраслевого баланса, матрицы широко используются при анализе взаимозависимых регрессионных уравнений регрессии, в факторном и дисперсионном анализах. Матричную алгебру ценят за краткость, простоту и наглядность. Универсальный характер матричных выражений позволяет приложить одни и те же методы анализа и к малому, и к большому массивам исходных данных. Количество исходных данных влияет только на объем вычислений, а это в свою очередь определяет продолжительность и стоимость работ. Роль этих факторов стремительно уменьшается в связи с использованием быстродействующих электронных вычислительных машин. [c.10]
Матрицей называется прямоугольная таблица, составленная из чисел. Размером матрицы называется пара чисел тхп, где т - число строк, а п -число столбцов таблицы. Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами. Матрица размером пхп называется квадратной. Над матрицами можно производить ряд операций. Матрицу можно умножить на число. Матрицы одинакового размера можно складывать и вычитать. Матрицу А размером тхп и матрицу В размером nxk можно перемножать, в результате получается матрица С размером mxk. Ниже определены некоторые операции над матрицами. [c.10]
С перечисленными выше операциями связаны некоторые законы матричной алгебры. Так, сложение матриц ассоциативно, если матрицы согласованы для сложения. Операция умножения матриц также ассоциативна, если только матрицы согласованы для умножения. Сложение матриц коммутативно в том случае, если матрицы согласованы для сложения. Операции с матрицами удовлетворяют требованиям дистрибутивного закона А(В + Q =AB +A в том случае, если матрицы В и С согласованы для сложения, а матрицы А и В согласованы для умножения. В общем случае умножение матриц не коммутативно. В трех случаях умножение матриц коммутативно — при умножении матрицы на нулевую матрицу, при умножении матрицы на диагональную матрицу, при умножении матрицы на скалярную величину. [c.10]
Произведение матрицы А на вектор является вектором у, т.е. у = Ах. Если у = Ах и х = Bw, то у = Abw, что справедливо для любых векторов х, у, w и любых матриц А, В. [c.11]
Ненулевой вектор х = (х, х2,. .., х )Т называется собственным вектором квадратной матрицы А порядка пхп, если Ах = Ах, где Я - некоторое число, называемое собственным значением матрицы. При этом говорят, что х есть собственный вектор матрицы А, принадлежащий ее собственному значению Л. [c.11]
Пусть / — единичная матрица порядка пхп. Уравнение А — Л1 = О называется характеристическим уравнением матрицы А. Собственные значения матрицы А являются корнями ее характеристического уравнения. Если в матрице А сумма элементов каждого столбца равна 1, то имеется собственный вектор, принадлежащий собственному значению 1. [c.11]

Вернуться к основной статье