Количество реализаций (частота) и вероятность

из "Новый подход к управлению капиталом "

Мы предполагаем, и вполне правомерно, что между двумя монетами нет никакой корреляции. То есть исходы бросаний двух монет не зависят друг от друга. Если бы это было не так, то каждый из четырех возможных исходов (ОО, ОР, РО, РР) не имел бы одну и ту же вероятность реализации. [c.135]
Стохастическая независимость, следовательно, синонимична в используемом нами смысле нулевому коэффициенту корреляции между двумя потоками исходов. [c.135]
Поэтому при наличии стохастической независимости мы можем говорить, что коэффициент корреляции равен нулю. Обратное, однако, неверно. Мы вскоре увидим, что бывает и так, когда коэффициент корреляции равен нулю, а стохастической независимости нет. [c.135]
Обычно условные вероятности рассматриваются в предположении стохастической независимости. Во многих случаях, вроде бросания двух монет, это предположение оправданно. Но есть масса реальных ситуаций, например, при оценке вероятности того, что в определенный день одновременно вырастут две акции (акции обычно положительно коррелированны друг с другом, т. е. коэффициент корреляции 0), это традиционное предположение теряет силу. Совместные вероятности нельзя рассчитать простым перемножением индивидуальных вероятностей. [c.136]
Эта проблема изводила меня в течение трех лет. Я пытался найти решение на пути обобщения теории условных вероятностей. То есть такое, которое бы давало условные вероятности для любых значений коэффициента корреляции, а не только для удобных значений, вроде О, 1 или — 1. Мне нужна была теория, которая давала бы условные вероятности для всех значений коэффициента корреляции между двумя случайными переменными. [c.136]
Я докучал университетам, докторам математики, свихнувшимся профессорам, южноамериканским знахарям, статистикам из страховых обществ и всем прочим, кто, по моему мнению, мог бы иметь ключ к этой проблеме. Часами я просеивал горы скучных технических журналов. [c.136]
Чем больше я работал над этой проблемой, тем более важным казалось мне ее решение. Почему же никто не мог решить проблему совместных вероятностей, столь важной для практических нужд Почему же условные вероятности проработаны лишь для самых удобных значений коэффициента корреляции Это было единственное, чего не хватало нашей новой методологии инвестирования. Я вывел целевую функцию, но в ней в качестве аргументов использовались именно эти условные вероятности. [c.137]
Как вы увидите в следующей главе, для реализации более совершенного подхода к инвестированию имелось все, кроме способа расчета совместных вероятностей по любым значениям коэффициента корреляции между двумя потоками случайных переменных. [c.137]
Подлинное страдание причиняла мне известная теорема об условных вероятностях, утверждавшая, что совместную плотность вероятности нельзя получить из безусловных плотностей вероятности компонент. Согласно традиционной точке зрения считалось, что в отсутствие стохастической независимости функция совместной плотности вероятности является уникальной, вполне самостоятельной, которая возникает как бы ниоткуда То есть она не выражается через функции безусловных плотностей составляющих, а есть новая, самостоятельная функция плотности вероятности, которая не может быть восстановлена из функций безусловных плотностей составляющих. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующую таблицу, позаимствованную у Феллера, которую мы графически проиллюстрировали на рис. 3.1. [c.137]
Коэффициент корреляции между потоками исходов события X и события Y равен нулю. Поэтому, если бы имела место стохастическая независимость, то можно было бы ожидать, что вероятность Х = 0 и Y = 3 будет равна (6/27) (8/27) = 0,222 0,0658 = 0,0658. Вместо этого, эта вероятность равняется нулю, подтверждая тем самым принятую теорему условных вероятностей о том, что совместные плотности не могут быть получены из безусловных плотностей компонентов. [c.138]
Было известно, как определять коэффициент корреляции при наличии только совместной плотности и безусловных плотностей , но долгое время считалось, что нельзя определить совместную плотность, располагая лишь безусловными плотностями и коэффициентом корреляции потоков. А именно это мне и было нужно. [c.138]
В конце концов я понял механизм формирования совместной плотности вероятности из безусловных плотностей вероятности. Однако, как вы увидите, этот механизм оказался не столь четким и простым, как мне бы хотелось. [c.139]
Природа вновь не идет на сотрудничество. [c.139]
Рассмотрим два одновременных сценарных спектра с ненулевым коэффициентом корреляции и оценим вероятность совместной реализации двух заданных сценариев, по одному из каждого спектра. [c.139]
Предположим далее, что одна из монет не идеальна и вероятность выпадения на ней орла равна не 0,5, а 0,4. Теперь вероятность выпадения двух орлов будет равна 0,4 — меньшая из вероятностей перекрывает большую. [c.140]
Если бы вероятность выпадения решки была равна 0,4 (и, следовательно, вероятность выпадения орлов была бы равна 0,6), то вероятность выпадения двух орлов была бы равна 0,5 — меньшей из двух вероятностей (так как вероятность орла на одной монете равна 0,6, а на другой равна 0,5). [c.140]
Когда коэффициент корреляции отрицателен, второй сценарный спектр (в данном случае монета 2) переворачивается на 180 градусов. [c.141]

Вернуться к основной статье