Библиографические замечания

из "Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике "

их которых состоит вторая часть этой книги, в свою очередь разделены на две большие темы. Первая из них — дифференциалы, а вторая — экстремальные задачи. [c.98]
Дифференциалы широко применяются как в прикладной, так и в теоретической работе, однако удовлетворительное их описание сравнительно редко попадается в учебниках по экономике или математике для экономистов. Некоторые авторы до сих пор пишут, что dx и dy обозначают бесконечно малые изменения в ж и у . Целью глав 5 и 6, таким образом, является систематическое введение в теорию дифференциалов. [c.98]
Начнем, однако, с обзора некоторых основных понятий, на которые мы затем будем часто ссылаться. [c.98]
Пусть S — подмножество Rn. Если х Rn — предельная точка 5, то в любом n-мерном шаре В (х) имеется бесконечно много точек S. [c.99]
Этот пример показывает, что множество может быть одновременно открытым и замкнутым. Из всех подмножеств Rn этим свойством обладают только 0 и само Rn. Может также быть, что множество не является ни открытым, ни замкнутым, например полуоткрытый интервал (а, Ь]. [c.100]
Очевидно, что множество S открыто тогда и только тогда, когда S =S, и замкнуто тогда и только тогда, когда S = S. Важным примером открытого множества является n-мерный шар. [c.101]
Шар В(с]г) является открытым множеством в Rn. [c.101]
Следующая теорема показывает, что замкнутое множество является дополнением открытого. [c.101]
Множество S из Rn замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение Rn — S открыто. [c.101]
Доказательство. Предположим вначале, что S замкнуто. Пусть х Rn — S. Тогда х ф S и, поскольку S содержит все свои предельные точки, х не является предельной точкой S. В силу этого существует n-мерный шар В (ж), не пересекающийся с 5, т. е. Б (ж) С Rn — 5. Из этого следует, что х — внутренняя точка Rn — 5, а значит, Rn — S — открытое множество. [c.101]
Следующие две теоремы показывают, как получать открытые и замкнутые множества из уже имеющихся. [c.101]
Объединение (произвольного числа) открытых множества открыто. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто. [c.101]
Пусть х S. Тогда существует хотя бы одно множество из F (назовем его Л), такое что х А. Поскольку А открыто, х является его внутренней точкой, а значит, и внутренней точкой S. Из этого следует, что S открыто. [c.102]
Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто. Пересечение произвольного числа замкнутых множеств замкнуто. [c.102]
Наконец, установим следующее простое соотношение между открытыми и замкнутыми множествами. [c.103]
Если А открыто и В замкнуто, то А — В открыто и В — А замкнуто. [c.103]
Из теоремы 1 следует, что у множества не может быть предельных точек, если оно конечно. Обратное, впрочем, неверно например, N — бесконечное множество, у которого нет предельных точек. Покажем, что у ограниченных бесконечных множеств всегда есть хотя бы одна предельная точка. [c.103]
У любого ограниченного бесконечного подмножества Rn есть предельная точка из Rn. [c.103]
Функция ф S — R, определенная на множестве S и принимающая значения в R, называется вещественнозначной, или вещественной. Функция / S — Rm, (га 1), значениями которой являются точки из Rm, называется векторной функцией, или вектор-функцией. [c.104]
Функция / Rn — Rm называется аффинной, если существует m х п матрица Л и m х 1 вектор b такие, что для всех х Rn f(x) = Ax + 6. Если 6 = 0, то функция / называется линейной. [c.105]

Вернуться к основной статье