Дифференцирование собственных значений и собственных векторов

из "Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике "

Два вышеприведенных следствия дают выражения для dF в тех точках, где r(F(X)) = т или r(F(X)) т — 3. Остается исследовать точки, в которых r(F(X)) равен т — 1 или т — 2. При этом придется прибегать к теореме 6, которая верна независимо от условий на ранги. [c.207]
Мы можем сказать больше, только если ранг F(X) локально постоянен. Если r(F(X)) = ттг — 2 для всех X из некоторой окрестности N(XQ) матрицы Х0, то F (X) тождественно равна нулю в этой окрестности, а значит, и дифференциал (dF )(X) = 0 для всех X N(XQ). Более сложным является случай r(F(X)) = т — 1 в окрестности XQ. Он рассматривается в упр. 6 в конце этой главы. [c.207]
Существуют две проблемы, связанные с дифференцированием собственных значений и собственных векторов. Первая — собственные значения вещественной матрицы Л, вообще говоря, не обязаны быть вещественными, а могут быть и комплексными. Вторая — возможная кратность собственных значений. [c.207]
Мы знаем, однако (из теоремы 1.4), что если А — симметрическая вещественная матрица, то ее собственные значения вещественные и собственные векторы также можно выбрать вещественными. Поскольку работать с таким случаем несколько удобнее, он и рассматривается вначале. [c.208]
Поскольку п +1 уравнение (3) описывает неявные функциональные соотношения, нужно сначала показать, что существуют единственные явные функции А = А(Х) и и = и(Х), удовлетворяющие (3) в некоторой окрестности матрицы Х0, такие что А(Х0) = АО и и(Х0) = UQ. Здесь и возникает вторая (и более серьезная) проблема — кратность собственных значений. [c.208]

Вернуться к основной статье